Номер 100, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

100. а) Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Найдите величину угла BCD, если угол COD равен $44^\circ$, а угол BAC равен $62^\circ$.

б) Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Найдите величину угла BAD, если угол AOD равен $88^\circ$, а угол BCA равен $40^\circ$.

а) Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Таким образом, выполняется равенство: $\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$. Чтобы найти величину угла $BCD$, нам необходимо сначала вычислить угол $BAD$.
Угол $BAD$ является суммой двух углов: $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$.
Из условия задачи известно, что $\angle BAC = 62^\circ$.
Угол $CAD$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $CD$. Центральный угол, который опирается на ту же самую дугу, — это $\angle COD$. По условию, $\angle COD = 44^\circ$.
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на одну и ту же дугу. Следовательно:
$\angle CAD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \cdot 44^\circ = 22^\circ$.
Теперь мы можем вычислить величину угла $BAD$:
$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 62^\circ + 22^\circ = 84^\circ$.
Наконец, находим искомый угол $BCD$:
$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.
Ответ: $96^\circ$.

б) Согласно свойству вписанного четырехугольника, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Для четырехугольника $ABCD$ это означает, что $\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$. Для нахождения угла $BAD$ сначала найдем угол $BCD$.
Угол $BCD$ можно представить как сумму двух углов: $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$.
По условию задачи, $\angle BCA = 40^\circ$.
Угол $ACD$ является вписанным углом, который опирается на дугу $AD$. Соответствующий этой дуге центральный угол — это $\angle AOD$, который по условию равен $88^\circ$.
Так как вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу, мы можем найти $\angle ACD$:
$\angle ACD = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2} \cdot 88^\circ = 44^\circ$.
Теперь вычислим величину угла $BCD$:
$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 40^\circ + 44^\circ = 84^\circ$.
Наконец, определим искомый угол $BAD$:
$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.
Ответ: $96^\circ$.