Номер 105, страница 199 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

105*. a) Окружности радиусами 16 и 4 касаются внешним образом. Боковые стороны равнобедренного треугольника являются их внешними касательными, а основание касается только большей окружности. Найдите основание треугольника.

б) Окружности радиусами 16 и 4 касаются внешним образом. Боковые стороны равнобедренного треугольника являются их внешними касательными, а основание касается только большей окружности. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры большей и меньшей окружностей соответственно, а $R=16$ и $r=4$ — их радиусы. Пусть треугольник — $ABC$ с основанием $BC$ и боковыми сторонами $AB=AC$. В силу симметрии задачи, линия центров $O_1O_2$ лежит на высоте $AH$, проведенной из вершины $A$ к основанию $BC$. Точка $H$ является серединой $BC$. Так как основание $BC$ касается большей окружности (с центром $O_1$), то точка касания — это точка $H$. Следовательно, радиус $O_1H$ перпендикулярен основанию $BC$, и $O_1H = R = 16$. Таким образом, точки $A$, $O_2$, $O_1$ и $H$ лежат на одной прямой, являющейся осью симметрии фигуры.

Проведем из центров $O_1$ и $O_2$ радиусы в точки касания с боковой стороной $AB$. Пусть $L$ — точка касания с большей окружностью, а $K$ — с меньшей. Тогда $O_1L \perp AB$ и $O_2K \perp AB$. Длины этих радиусов равны $O_1L = R = 16$ и $O_2K = r = 4$.

Прямоугольные треугольники $\triangle AKO_2$ и $\triangle ALO_1$ подобны по общему острому углу при вершине $A$. Из подобия следует: $$ \frac{AO_2}{AO_1} = \frac{O_2K}{O_1L} = \frac{r}{R} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $$ Расстояние между центрами касающихся окружностей равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = R + r = 16 + 4 = 20$. Поскольку точки расположены на прямой в порядке $A-O_2-O_1$, то $AO_1 = AO_2 + O_1O_2 = AO_2 + 20$. Подставим это в пропорцию: $$ \frac{AO_2}{AO_2 + 20} = \frac{1}{4} $$ $$ 4 \cdot AO_2 = AO_2 + 20 $$ $$ 3 \cdot AO_2 = 20 \Rightarrow AO_2 = \frac{20}{3} $$ Тогда $AO_1 = \frac{20}{3} + 20 = \frac{80}{3}$.

а)

Для нахождения основания треугольника $BC$ найдем сначала половину основания — катет $BH$ прямоугольного треугольника $\triangle AHB$. Высота треугольника $AH$ равна сумме длин отрезков $AO_1$ и $O_1H$: $$ AH = AO_1 + O_1H = \frac{80}{3} + 16 = \frac{80 + 48}{3} = \frac{128}{3} $$ Пусть $\alpha = \angle BAH$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ALO_1$ синус этого угла равен: $$ \sin(\alpha) = \frac{O_1L}{AO_1} = \frac{16}{80/3} = \frac{16 \cdot 3}{80} = \frac{48}{80} = \frac{3}{5} $$ Зная синус, найдем косинус и тангенс угла $\alpha$: $$ \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $$ $$ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} $$ В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ катет $BH$ можно выразить через другой катет $AH$ и тангенс прилежащего угла $\alpha$: $$ \tan(\alpha) = \frac{BH}{AH} \Rightarrow BH = AH \cdot \tan(\alpha) $$ $$ BH = \frac{128}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{128}{4} = 32 $$ Основание треугольника $BC$ в два раза больше $BH$: $$ BC = 2 \cdot BH = 2 \cdot 32 = 64 $$ Ответ: 64.

б)

Для нахождения боковой стороны $AB$ воспользуемся прямоугольным треугольником $\triangle AHB$. Мы знаем длины катетов $AH = \frac{128}{3}$ и $BH = 32$. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $$ AB^2 = AH^2 + BH^2 $$ $$ AB^2 = \left(\frac{128}{3}\right)^2 + 32^2 = \frac{16384}{9} + 1024 = \frac{16384 + 9 \cdot 1024}{9} = \frac{16384 + 9216}{9} = \frac{25600}{9} $$ $$ AB = \sqrt{\frac{25600}{9}} = \frac{160}{3} $$ Также можно было найти $AB$ через косинус угла $\alpha$: $$ \cos(\alpha) = \frac{AH}{AB} \Rightarrow AB = \frac{AH}{\cos(\alpha)} = \frac{128/3}{4/5} = \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{32 \cdot 5}{3} = \frac{160}{3} $$ Ответ: $\frac{160}{3}$.