Номер 6, страница 202 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6. Теорема о биссектрисе треугольника

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника:
$\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$.

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки 7 см и 5 см. Периметр треугольника равен 36 см. Найдите стороны треугольника.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о биссектрисе и информацией о периметре треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, биссектриса делит одну из сторон (назовем ее $c$) на два отрезка, $m = 7$ см и $n = 5$ см.

1. Найдем длину стороны $c$
Сторона, разделенная биссектрисой, равна сумме длин образовавшихся отрезков:
$c = m + n = 7 + 5 = 12$ см.

2. Найдем сумму двух других сторон
Периметр треугольника $P$ равен сумме всех его сторон: $P = a + b + c$.
По условию $P = 36$ см. Мы знаем, что $c = 12$ см. Подставим эти значения в формулу периметра, чтобы найти сумму сторон $a$ и $b$:
$a + b + 12 = 36$
$a + b = 36 - 12$
$a + b = 24$ см.

3. Применим теорему о биссектрисе
Теорема о биссектрисе гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Это означает, что отношение сторон $a$ и $b$ равно отношению отрезков $m$ и $n$:
$\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$
Подставим значения $m=7$ и $n=5$:
$\frac{a}{b} = \frac{7}{5}$
Из этого соотношения выразим сторону $a$ через сторону $b$:
$a = \frac{7}{5}b$

4. Найдем стороны $a$ и $b$
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $a + b = 24$
2) $a = \frac{7}{5}b$
Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:
$\frac{7}{5}b + b = 24$
$\frac{7}{5}b + \frac{5}{5}b = 24$
$\frac{12}{5}b = 24$
Теперь решим уравнение относительно $b$:
$b = 24 \cdot \frac{5}{12}$
$b = 2 \cdot 5 = 10$ см.
Теперь, зная $b$, найдем $a$:
$a = 24 - b = 24 - 10 = 14$ см.

Таким образом, мы нашли все три стороны треугольника: 14 см, 10 см и 12 см.

Ответ: стороны треугольника равны 10 см, 12 см и 14 см.