Номер 4, страница 201 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$

В остроугольном треугольнике ABC $\angle A = 60^\circ$, AB = 8, BC = 7. Найдите периметр треугольника.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Применим теорему косинусов для стороны $BC$, противолежащей углу $A$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$.

В задаче даны следующие значения: $AB = 8$, $BC = 7$, $\angle A = 60^\circ$. Сторону $AC$ обозначим как $x$. Подставим известные значения в формулу: $7^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(60^\circ)$.

Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение и упростим его: $49 = 64 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$ $49 = 64 + x^2 - 8x$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 - 8x + 64 - 49 = 0$ $x^2 - 8x + 15 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$. Таким образом, для длины стороны $AC$ есть два возможных значения: 3 или 5.

По условию, треугольник $ABC$ является остроугольным. Это означает, что все его углы должны быть меньше $90^\circ$. Проверим оба случая. Угол является острым, если его косинус положителен.

Случай 1: $AC = 3$. Стороны треугольника: $a=BC=7$, $b=AC=3$, $c=AB=8$. Найдем косинус угла $C$ по теореме косинусов: $\cos(\angle C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. $\cos(\angle C) = \frac{7^2 + 3^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 3} = \frac{49 + 9 - 64}{42} = \frac{58 - 64}{42} = \frac{-6}{42} = -\frac{1}{7}$. Поскольку $\cos(\angle C) < 0$, угол $C$ является тупым. Этот случай не удовлетворяет условию, что треугольник остроугольный.

Случай 2: $AC = 5$. Стороны треугольника: $a=BC=7$, $b=AC=5$, $c=AB=8$. Проверим косинусы углов $B$ и $C$. $\cos(\angle B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 8^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 25}{112} = \frac{88}{112}$. Так как $\cos(\angle B) > 0$, угол $B$ — острый. $\cos(\angle C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 5^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49 + 25 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$. Так как $\cos(\angle C) > 0$, угол $C$ — острый. Все три угла ($\angle A = 60^\circ$, $\angle B$, $\angle C$) являются острыми, значит, этот случай удовлетворяет условию задачи. Следовательно, длина стороны $AC$ равна 5.

Теперь найдем периметр треугольника $ABC$. Периметр $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = AB + BC + AC = 8 + 7 + 5 = 20$.

Ответ: 20.