Номер 5, страница 201 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5. Свойства медиан треугольника

1. Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины:

$\frac{BO}{OF} = \frac{CO}{OK} = \frac{AO}{OM} = 2:1.$

2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:

$S_{\triangle ABM} = S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}.$

В треугольнике $ABC$ медианы $BK$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Площадь треугольника $COK$ равна $30$ см$^2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

В задаче дано, что в треугольнике $ABC$ проведены медианы $BK$ и $CD$, которые пересекаются в точке $O$. Известна площадь треугольника $COK$, $S_{\triangle COK} = 30 \text{ см}^2$. Требуется найти площадь треугольника $ABC$.

Для решения воспользуемся свойствами медиан треугольника, которые указаны в условии.

1. Согласно свойству медиан, точка их пересечения $O$ делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $BK$ это свойство записывается как $BO : OK = 2 : 1$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle COK$. У этих треугольников общая высота, проведенная из вершины $C$ к прямой $BK$. Если треугольники имеют общую высоту, то отношение их площадей равно отношению длин их оснований. В нашем случае основания $BO$ и $OK$ лежат на одной прямой $BK$.

Следовательно, мы можем записать:

$\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle COK}} = \frac{BO}{OK}$

Так как $\frac{BO}{OK} = 2$, то $\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle COK}} = 2$.

Зная, что $S_{\triangle COK} = 30 \text{ см}^2$, находим площадь треугольника $BOC$:

$S_{\triangle BOC} = 2 \cdot S_{\triangle COK} = 2 \cdot 30 = 60 \text{ см}^2$.

3. Теперь мы можем найти площадь треугольника $CBK$. Она складывается из площадей треугольников $BOC$ и $COK$:

$S_{\triangle CBK} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COK} = 60 + 30 = 90 \text{ см}^2$.

4. Используем второе свойство медиан: медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. на два треугольника с равными площадями). Поскольку $BK$ — это медиана, проведенная к стороне $AC$, она делит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника: $\triangle ABK$ и $\triangle CBK$.

$S_{\triangle CBK} = S_{\triangle ABK} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$

5. Зная площадь треугольника $CBK$, мы можем вычислить площадь всего треугольника $ABC$:

$S_{\triangle ABC} = 2 \cdot S_{\triangle CBK} = 2 \cdot 90 = 180 \text{ см}^2$.

Ответ: $180 \text{ см}^2$.