Номер 8, страница 202 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8. Теорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую прямую, то они отсекут на ней равные между собой отрезки.

Дано: $AB : BC = 5 : 7$; $BB_1 \parallel CC_1$; $AC_1 = 36$.

Найти: $B_1C_1 - AB_1$.

Поскольку прямые $BB_1$ и $CC_1$ параллельны ($BB_1 \parallel CC_1$) и пересекают стороны угла с вершиной в точке $A$ (прямые $AC$ и $AC_1$), мы можем применить обобщенную теорему Фалеса (также известную как теорема о пропорциональных отрезках).

Согласно этой теореме, отношение отрезков, отсекаемых на одной стороне угла, равно отношению соответствующих отрезков на другой стороне:

$\frac{AB}{BC} = \frac{AB_1}{B_1C_1}$

Из условия задачи известно, что $AB : BC = 5 : 7$. Следовательно, отношение отрезков $AB_1$ и $B_1C_1$ также равно $5 : 7$:

$\frac{AB_1}{B_1C_1} = \frac{5}{7}$

Для удобства введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины отрезков можно выразить как $AB_1 = 5x$ и $B_1C_1 = 7x$.

Отрезок $AC_1$ является суммой отрезков $AB_1$ и $B_1C_1$:

$AC_1 = AB_1 + B_1C_1$

По условию $AC_1 = 36$. Подставим в уравнение наши выражения через $x$:

$36 = 5x + 7x$

$36 = 12x$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{36}{12} = 3$

Теперь найдем длины отрезков $AB_1$ и $B_1C_1$:

$AB_1 = 5x = 5 \cdot 3 = 15$

$B_1C_1 = 7x = 7 \cdot 3 = 21$

Осталось найти разность $B_1C_1 - AB_1$:

$B_1C_1 - AB_1 = 21 - 15 = 6$

Ответ: 6