Номер 15, страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15. Теорема, обратная теореме Пифагора

Если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным.

В треугольнике ABC $\mathbf{AB} = 5 \text{ см}$, $\mathbf{BC} = 7 \text{ см}$, $\mathbf{AC} = 2\sqrt{6} \text{ см}$. Найдите площадь треугольника.

Чтобы найти площадь треугольника $ABC$, сначала проверим, является ли он прямоугольным. Для этого воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора, которая гласит: если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным.

Даны стороны треугольника: $AB = 5$ см, $BC = 7$ см, $AC = 2\sqrt{6}$ см.

1. Найдем квадраты длин каждой стороны, чтобы определить наибольшую из них.

Квадрат стороны $AB$: $AB^2 = 5^2 = 25$.

Квадрат стороны $AC$: $AC^2 = (2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.

Квадрат стороны $BC$: $BC^2 = 7^2 = 49$.

2. Сравнивая полученные значения ($25, 24, 49$), заключаем, что $BC$ является наибольшей стороной треугольника.

3. Теперь проверим, выполняется ли для данного треугольника равенство $BC^2 = AB^2 + AC^2$.

Сумма квадратов двух меньших сторон: $AB^2 + AC^2 = 25 + 24 = 49$.

Квадрат большей стороны: $BC^2 = 49$.

Поскольку $BC^2 = AB^2 + AC^2$ ($49 = 49$), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ABC$ является прямоугольным.

4. В прямоугольном треугольнике наибольшая сторона является гипотенузой, а две другие — катетами. Значит, $BC$ — гипотенуза, а $AB$ и $AC$ — катеты. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$

Подставим значения длин катетов в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2\sqrt{6} = 5\sqrt{6}$ см$^2$.

Ответ: $5\sqrt{6}$ см$^2$.