Номер 16, страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

$AH = b_c$ — проекция катета $AC$ на гипотенузу;

$BH = a_c$ — проекция катета $BC$ на гипотенузу.

$a^2 = a_c \cdot c; b^2 = b_c \cdot c; h^2 = a_c \cdot b_c$.

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если проекции катетов на гипотенузу равны 2 см и 6 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Из вершины $C$ на гипотенузу $AB$ опущена высота $CH$. Тогда отрезки $AH$ и $BH$ являются проекциями катетов $AC$ и $BC$ на гипотенузу.

Согласно условию задачи, длины этих проекций равны 2 см и 6 см. Обозначим их в соответствии с рисунком: $b_c = AH = 2$ см. $a_c = BH = 6$ см.

1. Нахождение высоты треугольника, проведенной к гипотенузе
Высота, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным (средним геометрическим) для проекций катетов на гипотенузу. Обозначим высоту $CH$ как $h$. Ее квадрат можно найти по формуле: $h^2 = a_c \cdot b_c$ Подставим известные значения: $h^2 = 6 \cdot 2 = 12$ Отсюда находим длину высоты: $h = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение острых углов треугольника
Высота $CH$ делит исходный треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $AHC$ и $BHC$. Мы можем найти острые углы $\angle A$ и $\angle B$, используя тригонометрические функции в этих меньших треугольниках.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (где $\angle AHC = 90^\circ$). В нем нам известны длины двух катетов:

• прилежащий катет к углу $A$ — $AH = 2$ см;
• противолежащий катет к углу $A$ — $CH = 2\sqrt{3}$ см.

Найдем тангенс угла $A$: $\text{tg}(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CH}{AH} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle A = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (где $\angle BHC = 90^\circ$). В нем также известны длины двух катетов:

• прилежащий катет к углу $B$ — $BH = 6$ см;
• противолежащий катет к углу $B$ — $CH = 2\sqrt{3}$ см.

Найдем тангенс угла $B$: $\text{tg}(\angle B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CH}{BH} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, $\angle B = 30^\circ$.

Проверка: сумма острых углов в прямоугольном треугольнике должна быть равна $90^\circ$. $\angle A + \angle B = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$. Расчеты верны.

Ответ: острые углы прямоугольного треугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$.