Номер 13, страница 204 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: $\alpha = x + y.$

Внешний угол треугольника равен $99^\circ$. Найдите углы треугольника, если внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 3 : 7.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника, которая гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

По условию, величина внешнего угла составляет $99^\circ$. Внутренние углы, не смежные с ним, относятся как $3:7$. Обозначим эти углы как $\angle 1$ и $\angle 2$.

Пусть $x$ – это коэффициент пропорциональности, тогда градусные меры этих углов будут равны:
$\angle 1 = 3x$
$\angle 2 = 7x$

Согласно теореме о внешнем угле, их сумма равна данному внешнему углу. Составим и решим уравнение:
$3x + 7x = 99$
$10x = 99$
$x = \frac{99}{10} = 9.9$

Теперь мы можем найти величины этих двух углов:
$\angle 1 = 3 \cdot 9.9 = 29.7^\circ$
$\angle 2 = 7 \cdot 9.9 = 69.3^\circ$

Третий внутренний угол треугольника (обозначим его $\angle 3$) является смежным с внешним углом в $99^\circ$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно:
$\angle 3 = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$

Мы нашли все три угла треугольника. Для проверки можно убедиться, что сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$:
$29.7^\circ + 69.3^\circ + 81^\circ = 99^\circ + 81^\circ = 180^\circ$.
Расчеты верны.

Ответ: углы треугольника равны $29.7^\circ$, $69.3^\circ$ и $81^\circ$.