Номер 20, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

$r = p - c;$

$r = \frac{a+b-c}{2}$,

где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза,

$p = \frac{a+b+c}{2}.$

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 6, а радиус описанной около этого треугольника окружности равен $\sqrt{5}$. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза.

Согласно условию задачи, сумма катетов равна 6, что можно записать в виде уравнения: $a + b = 6$.

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности, обозначим его как $R$, равен $\sqrt{5}$.

Важным свойством прямоугольного треугольника является то, что центр его описанной окружности находится на середине гипотенузы. Следовательно, радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$.

Используя это свойство, мы можем найти длину гипотенузы $c$: $c = 2R = 2 \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

Теперь нам нужно найти радиус вписанной окружности, который мы обозначим как $r$. В условии уже приведена формула для нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности: $r = \frac{a + b - c}{2}$.

Подставим в эту формулу известные нам значения суммы катетов $(a+b)$ и гипотенузы $c$: $r = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2}$.

Упростим полученное выражение, почленно разделив числитель на знаменатель: $r = \frac{6}{2} - \frac{2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5}$.

Ответ: $3 - \sqrt{5}$.