Номер 11, страница 203 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11. Отношение площадей и линейных элементов подобных треугольников

У подобных треугольников:

1) площади относятся как квадрат коэффициента подобия;

2) все соответствующие линейные элементы (медианы, высоты, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружностей, периметры) относятся как коэффициент подобия.

В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$

$AB : A_1B_1 = BC : B_1C_1 = AC : A_1C_1 = 5 : 2$. Сумма площадей этих треугольников равна $58 \text{ см}^2$. Найдите площадь каждого треугольника.

В задаче даны два треугольника, $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Из условия известно, что отношение их соответственных сторон равно $5:2$: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{5}{2} $ Это означает, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, а коэффициент подобия $k$ равен $\frac{5}{2}$.

Согласно свойству площадей подобных фигур, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Обозначим площади треугольников как $S_{ABC}$ и $S_{A_1B_1C_1}$. $ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4} $

Из этой пропорции можно выразить площадь одного треугольника через другой: $ S_{ABC} = \frac{25}{4} S_{A_1B_1C_1} $

По условию задачи, сумма площадей этих треугольников равна 58 см²: $ S_{ABC} + S_{A_1B_1C_1} = 58 $

Подставим выражение для $S_{ABC}$ в уравнение суммы площадей: $ \frac{25}{4} S_{A_1B_1C_1} + S_{A_1B_1C_1} = 58 $

Вынесем $S_{A_1B_1C_1}$ за скобки, чтобы решить уравнение: $ S_{A_1B_1C_1} \cdot (\frac{25}{4} + 1) = 58 $
$ S_{A_1B_1C_1} \cdot (\frac{25}{4} + \frac{4}{4}) = 58 $
$ S_{A_1B_1C_1} \cdot \frac{29}{4} = 58 $

Теперь найдем значение $S_{A_1B_1C_1}$: $ S_{A_1B_1C_1} = 58 \cdot \frac{4}{29} = 2 \cdot 4 = 8 $ Таким образом, площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна 8 см².

Зная площадь одного треугольника, найдем площадь второго: $ S_{ABC} = 58 - S_{A_1B_1C_1} = 58 - 8 = 50 $ Площадь треугольника $ABC$ равна 50 см².

Ответ: площадь треугольника $ABC$ равна 50 см², площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна 8 см².