Номер 104, страница 198 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

104. a) $AP$ и $AT$ — две касательные к одной окружности радиусом 8 ($P$ и $T$ — точки касания). Точка $H$ лежит на большей из дуг $PT$. Найдите угол $PHT$, если отрезок $AP$ равен 8.

б) $AB$ и $AC$ — касательные к одной окружности ($B$ и $C$ — точки касания). Расстояние от точки $A$ до центра окружности равно 8, а до хорды $BC$ — 6. Найдите градусную меру меньшей из дуг $BC$.

а)

Пусть $O$ — центр окружности. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OP \perp AP$ и $OT \perp AT$. Это означает, что треугольники $APO$ и $ATO$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $APO$. По условию, радиус окружности $OP = 8$, и длина отрезка касательной $AP = 8$. Так как катеты $OP$ и $AP$ равны, треугольник $APO$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны $45^\circ$, следовательно, $\angle AOP = 45^\circ$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $ATO$ катеты $OT = 8$ (радиус) и $AT=AP=8$ (отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны). Значит, $\triangle ATO$ также является равнобедренным прямоугольным, и $\angle AOT = 45^\circ$.

Центральный угол $\angle POT$, опирающийся на меньшую дугу $PT$, равен сумме углов $\angle AOP$ и $\angle AOT$:

$\angle POT = \angle AOP + \angle AOT = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.

Угол $\angle PHT$ является вписанным углом. Поскольку точка $H$ лежит на большей дуге $PT$, этот угол опирается на меньшую дугу $PT$. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Градусная мера дуги равна соответствующему ей центральному углу.

$\angle PHT = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } PT = \frac{1}{2} \angle POT = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

б)

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — её радиус. По свойству касательных, проведенных из одной точки $A$, отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, а также перпендикулярен хорде $BC$, соединяющей точки касания. Пусть $M$ — точка пересечения $AO$ и $BC$. Тогда $AO \perp BC$.

По условию, расстояние от точки $A$ до центра $O$ равно $AO = 8$. Расстояние от точки $A$ до хорды $BC$ — это длина перпендикуляра $AM$, то есть $AM = 6$.

Точки $A, M, O$ лежат на одной прямой, поэтому длина отрезка $OM$ равна:

$OM = AO - AM = 8 - 6 = 2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$ (угол $\angle ABO = 90^\circ$, так как радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$). Отрезок $BM$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $AO$.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $OB$ и его проекции $OM$ на гипотенузу $AO$ имеем:

$OB^2 = AO \cdot OM$

Подставим известные значения. Пусть $OB = R$:

$R^2 = 8 \cdot 2 = 16$

Отсюда радиус $R = 4$.

Градусная мера меньшей дуги $BC$ равна величине центрального угла $\angle BOC$. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle BOC$, поэтому $\angle BOC = 2 \cdot \angle BOM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBM$. В нём гипотенуза $OB = R = 4$ и катет $OM = 2$. Найдем угол $\angle BOM$:

$\cos(\angle BOM) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OM}{OB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\angle BOM = 60^\circ$.

Тогда центральный угол $\angle BOC$ равен:

$\angle BOC = 2 \cdot \angle BOM = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Следовательно, градусная мера меньшей дуги $BC$ равна $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.