Номер 102, страница 198 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

102. a) $MK$ — диаметр окружности, $MC$ — ее хорда. Через точку $K$ проведена касательная к окружности, которая пересекает прямую $MC$ в точке $P$. Найдите расстояние от точки $P$ до центра окружности, если расстояние от точки $K$ до прямой $MP$ равно 6 см, а $MK = 2\sqrt{13}$ см.

б) $PE$ — диаметр окружности, $PA$ — ее хорда. Через точку $E$ проведена касательная к окружности, которая пересекает прямую $AP$ в точке $H$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $HP$, если расстояние от точки $H$ до прямой $PE$ равно $3\sqrt{5}$ см, а $AP = 4$ см.

а)

Пусть O — центр окружности. Поскольку MK — диаметр, то радиус окружности $OK = \frac{MK}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}$ см.

Касательная, проведенная через точку K, перпендикулярна радиусу OK, проведенному в точку касания. Так как центр O лежит на диаметре MK, то касательная PK перпендикулярна самому диаметру MK. Следовательно, треугольник MKP — прямоугольный с прямым углом при вершине K ($\angle MKP = 90^\circ$).

Расстояние от точки K до прямой MP — это длина перпендикуляра, опущенного из K на прямую MP. Обозначим основание этого перпендикуляра буквой H. Таким образом, KH — высота прямоугольного треугольника MKP, проведенная к гипотенузе MP. По условию, $KH = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MKH (с прямым углом при H, так как KH — перпендикуляр). В этом треугольнике MK является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$MH^2 = MK^2 - KH^2 = (2\sqrt{13})^2 - 6^2 = 52 - 36 = 16$ см$^2$.

Отсюда $MH = \sqrt{16} = 4$ см.

В прямоугольном треугольнике MKP высота KH, проведенная к гипотенузе, связана с отрезками гипотенузы MH и HP, на которые она ее делит, соотношением: $KH^2 = MH \cdot HP$.

Подставим известные значения:

$6^2 = 4 \cdot HP$

$36 = 4 \cdot HP$

$HP = \frac{36}{4} = 9$ см.

Теперь мы можем найти длину катета KP. В прямоугольном треугольнике KHP (с прямым углом при H) по теореме Пифагора:

$KP^2 = KH^2 + HP^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117$.

Искомое расстояние от точки P до центра окружности O — это длина отрезка PO. Рассмотрим треугольник OKP. Он является прямоугольным, так как $\angle OKP = 90^\circ$ (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). OK — катет, равный радиусу, $OK = \sqrt{13}$ см. KP — второй катет, для которого мы нашли $KP^2 = 117$. PO — гипотенуза. По теореме Пифагора:

$PO^2 = OK^2 + KP^2 = (\sqrt{13})^2 + 117 = 13 + 117 = 130$.

$PO = \sqrt{130}$ см.

Ответ: $\sqrt{130}$ см.

б)

Поскольку PE — диаметр окружности, а PA — её хорда, то вписанный угол $\angle PAE$, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $\angle PAE = 90^\circ$, что означает $AE \perp PA$.

Касательная к окружности в точке E перпендикулярна диаметру PE. Прямая AP пересекает эту касательную в точке H. Таким образом, образуется треугольник PEH, который является прямоугольным с прямым углом при вершине E ($\angle PEH = 90^\circ$).

Точки P, A, H лежат на одной прямой (гипотенузе треугольника PEH). Так как $AE \perp PA$, то отрезок AE перпендикулярен и всей прямой PH. Это означает, что AE является высотой прямоугольного треугольника PEH, опущенной из вершины E на гипотенузу PH.

Искомое расстояние от точки E до прямой HP — это и есть длина высоты AE.

Расстояние от точки H до прямой PE в прямоугольном треугольнике PEH равно длине катета EH. По условию, это расстояние равно $3\sqrt{5}$ см, значит, $EH = 3\sqrt{5}$ см. Также по условию дано, что $AP = 4$ см.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета EH его проекцией на гипотенузу PH является отрезок AH. Таким образом, справедливо соотношение: $EH^2 = AH \cdot PH$.

Так как $PH = AP + AH = 4 + AH$, подставим известные значения в формулу:

$(3\sqrt{5})^2 = AH \cdot (4 + AH)$

$45 = 4AH + AH^2$

$AH^2 + 4AH - 45 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Корнями уравнения являются $AH_1 = 5$ и $AH_2 = -9$. Так как длина отрезка — величина положительная, выбираем $AH = 5$ см.

Теперь найдем длину высоты AE, используя другое метрическое соотношение в прямоугольном треугольнике: квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу (то есть произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу).

$AE^2 = AP \cdot AH = 4 \cdot 5 = 20$.

$AE = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.