Номер 96, страница 196 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

96. a) В четырехугольнике $ABCD$, вписанном в окружность, стороны $AB$ и $BC$ равны, $M$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $AB$, если $BM = 2$, а $MD = 6$.

б) Четырехугольник $ABCD$, в котором $AD = CD$, вписан в окружность. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке $E$. Найдите $AD$, если $BE = 4$, а $ED = 6$.

а)

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, а его стороны $AB$ и $BC$ равны, то равны и дуги, которые эти стороны стягивают: дуга $AB$ = дуга $BC$.

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны между собой.

• Угол $∠ADB$ опирается на дугу $AB$.
• Угол $∠BAC$ опирается на дугу $BC$.

Следовательно, $∠ADB = ∠BAC$.

Рассмотрим треугольники $ΔABM$ и $ΔDBA$.

• $∠ABD$ — общий угол.
• $∠BAM$ (то же самое, что и $∠BAC$) равен $∠BDA$ (то же самое, что и $∠ADB$), как мы показали выше.

Таким образом, $ΔABM$ подобен $ΔDBA$ по двум углам (признак подобия AA). Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{AB}{DB} = \frac{BM}{AB} $

Из этой пропорции можно выразить $AB$: $ AB^2 = DB \cdot BM $

Длина диагонали $DB$ равна сумме ее отрезков $BM$ и $MD$. По условию $BM = 2$ и $MD = 6$, значит: $ DB = BM + MD = 2 + 6 = 8 $

Подставим известные значения в полученную формулу: $ AB^2 = 8 \cdot 2 = 16 $ $ AB = \sqrt{16} = 4 $

Ответ: 4.

б)

Данный четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, и по условию $AD = CD$. Равные хорды стягивают равные дуги, поэтому дуга $AD$ = дуга $CD$.

Вписанные углы, которые опираются на равные дуги, равны.

• Угол $∠ABD$ опирается на дугу $AD$.
• Угол $∠CAD$ опирается на дугу $CD$.

Отсюда следует, что $∠ABD = ∠CAD$.

Рассмотрим треугольники $ΔADE$ и $ΔBDA$.

• $∠BDA$ — общий угол.
• $∠DAE$ (то же самое, что и $∠CAD$) равен $∠DBA$ (то же самое, что и $∠ABD$), как мы только что установили.

Следовательно, $ΔADE$ подобен $ΔBDA$ по двум углам (признак подобия AA). Из подобия следует соотношение сторон: $ \frac{AD}{BD} = \frac{DE}{AD} $

Выразим $AD$ из данной пропорции: $ AD^2 = BD \cdot DE $

Длина диагонали $BD$ равна сумме отрезков $BE$ и $ED$. Из условия известно, что $BE = 4$ и $ED = 6$, тогда: $ BD = BE + ED = 4 + 6 = 10 $

Теперь подставим известные значения в формулу для $AD^2$: $ AD^2 = 10 \cdot 6 = 60 $ $ AD = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} $

Ответ: $2\sqrt{15}$.