Номер 98, страница 196 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

98. a) Из точки $A$ вне окружности к ней проведена касательная. Расстояние от точки $A$ до точки касания равно 15. Отрезок, соединяющий точку $A$ с центром окружности $O$, пересекает окружность в точке $P$, причем $AP$ больше $PO$ на 1. Найдите радиус окружности.

б) Из точки $A$ вне окружности к ней проведена касательная. Расстояние от точки $A$ до точки касания равно 12. Отрезок, соединяющий точку $A$ с центром окружности $O$, пересекает окружность в точке $K$, причем отрезок $AK$ равен 8. Найдите диаметр окружности.

а)

Пусть $T$ — точка касания, $O$ — центр окружности, а $r$ — её радиус. По условию, расстояние от точки $A$ до точки касания равно 15, следовательно, длина отрезка касательной $AT = 15$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть $OT \perp AT$. Таким образом, треугольник $\triangle ATO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.

Точка $P$ лежит на окружности, поэтому отрезок $PO$ является радиусом, $PO = r$. Отрезок $AO$ проходит через точку $P$, и его длина равна сумме длин отрезков $AP$ и $PO$: $AO = AP + PO$. По условию, $AP$ больше $PO$ на 1, то есть $AP = PO + 1 = r + 1$. Тогда длина отрезка $AO$ (гипотенузы прямоугольного треугольника $\triangle ATO$) равна $AO = (r + 1) + r = 2r + 1$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle ATO$: $AT^2 + OT^2 = AO^2$ Подставим известные значения катетов ($AT=15$, $OT=r$) и гипотенузы ($AO=2r+1$): $15^2 + r^2 = (2r + 1)^2$

Решим полученное уравнение: $225 + r^2 = 4r^2 + 4r + 1$ $3r^2 + 4r - 224 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-224) = 16 + 2688 = 2704$ $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$

Найдем корни уравнения для $r$: $r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 52}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 52}{6}$ $r_1 = \frac{-4 + 52}{6} = \frac{48}{6} = 8$ $r_2 = \frac{-4 - 52}{6} = -\frac{56}{6}$ Так как радиус является длиной, он не может быть отрицательным, поэтому выбираем $r = 8$.

Ответ: 8.

б)

Пусть $T$ — точка касания, $O$ — центр окружности, а $r$ — её радиус. По условию, расстояние от точки $A$ до точки касания равно 12, то есть длина отрезка касательной $AT = 12$. Радиус $OT$ перпендикулярен касательной $AT$ в точке касания, поэтому треугольник $\triangle ATO$ — прямоугольный с прямым углом $T$.

Отрезок $AO$, соединяющий точку $A$ с центром окружности, пересекает окружность в точке $K$. Длина отрезка $AK$ равна 8. Отрезок $KO$ является радиусом окружности, поэтому $KO = r$. Длина гипотенузы $AO$ в треугольнике $\triangle ATO$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $KO$: $AO = AK + KO = 8 + r$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle ATO$: $AT^2 + OT^2 = AO^2$ Катеты треугольника: $AT = 12$ и $OT = r$. Гипотенуза: $AO = 8 + r$. Подставим значения в формулу: $12^2 + r^2 = (8 + r)^2$

Решим уравнение относительно $r$: $144 + r^2 = 64 + 16r + r^2$ $144 - 64 = 16r$ $80 = 16r$ $r = \frac{80}{16} = 5$

Радиус окружности равен 5. Требуется найти диаметр $d$. Диаметр равен удвоенному радиусу: $d = 2r = 2 \cdot 5 = 10$.

Ответ: 10.