Номер 103, страница 198 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

103. a) Прямые, содержащие хорды $BC$ и $PK$ окружности, пересекаются в точке $A$ (точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$, а точка $P$ — между точками $A$ и $K$). Найдите длину хорды $BC$, если точка $B$ — середина $AC$, $AP = 2 \text{ см}$, а $PK = 6 \text{ см}$.

б) Прямые, содержащие хорды $MP$ и $TE$ окружности, пересекаются в точке $A$ (точка $M$ лежит между точками $A$ и $P$, а точка $T$ — между точками $A$ и $E$). Найдите длину хорды $MP$, если $AM : MP = 1 : 3$, $AE = 9 \text{ см}$, а $AT = 4 \text{ см}$.

а)

Согласно условию, прямые, содержащие хорды $BC$ и $PK$, пересекаются в точке $A$. Поскольку точка $B$ лежит между $A$ и $C$, а точка $P$ — между $A$ и $K$, точка $A$ находится вне окружности, а прямые $AC$ и $AK$ являются секущими.
Для двух секущих, проведенных из одной точки к окружности, справедливо свойство: произведение внешней части секущей на всю секущую постоянно. Для данных секущих это свойство записывается в виде равенства:
$AB \cdot AC = AP \cdot AK$

Найдем значения для секущей, проходящей через точки $A$, $P$, $K$. Нам даны длины: $AP = 2$ см и $PK = 6$ см.
Длина всей секущей $AK$ равна сумме длин ее частей $AP$ и $PK$:
$AK = AP + PK = 2 + 6 = 8$ см.
Теперь вычислим произведение $AP \cdot AK$:
$AP \cdot AK = 2 \cdot 8 = 16$ см$^2$.

Теперь рассмотрим секущую, проходящую через точки $A$, $B$, $C$.
По условию, точка $B$ — середина отрезка $AC$. Это означает, что длины отрезков $AB$ и $BC$ равны: $AB = BC$.
Пусть длина хорды $BC$ равна $x$ см. Тогда и $AB = x$ см.
Длина всей секущей $AC$ будет равна:
$AC = AB + BC = x + x = 2x$ см.

Подставим эти выражения в исходное равенство:
$AB \cdot AC = 16$
$x \cdot (2x) = 16$
$2x^2 = 16$
$x^2 = 8$
$x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.
Мы искали длину хорды $BC$, которая равна $x$.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.

б)

В этой задаче мы также имеем дело с двумя секущими, проведенными из точки $A$ к окружности. Используем ту же теорему о произведении внешней части секущей на всю секущую:
$AM \cdot AP = AT \cdot AE$

Найдем известное произведение для секущей, проходящей через точки $A$, $T$, $E$. По условию, $AT = 4$ см и $AE = 9$ см.
$AT \cdot AE = 4 \cdot 9 = 36$ см$^2$.

Теперь рассмотрим секущую, проходящую через точки $A$, $M$, $P$.
По условию, дано отношение $AM : MP = 1 : 3$.
Обозначим длину отрезка $AM$ как $x$. Тогда из отношения следует, что длина хорды $MP = 3x$.
Длина всей секущей $AP$ будет равна сумме длин ее частей:
$AP = AM + MP = x + 3x = 4x$.

Подставим полученные выражения в исходное равенство:
$AM \cdot AP = 36$
$x \cdot (4x) = 36$
$4x^2 = 36$
$x^2 = 9$
$x = 3$ см (длина отрезка может быть только положительной).

Нам необходимо найти длину хорды $MP$. Мы определили ее как $3x$.
$MP = 3 \cdot x = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.