Номер 73, страница 190 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

73. a) Средняя линия, равная 10 см, делит трапецию на две части, площади которых относятся как $3:5$. Найдите меньшее основание трапеции.

б) Средняя линия делит трапецию на две части, площади которых относятся как $3:4$. Найдите длину средней линии трапеции, если ее меньшее основание равно 10 см.

а)

Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$ (где $a$ — меньшее основание), высоту как $h$, а среднюю линию как $m$. По условию задачи, длина средней линии $m = 10$ см.

Формула средней линии трапеции: $m = \frac{a + b}{2}$. Подставим известное значение $m$: $10 = \frac{a + b}{2}$ $a + b = 20$. Отсюда можно выразить большее основание $b$ через меньшее: $b = 20 - a$.

Средняя линия делит трапецию на две меньшие трапеции. Высота исходной трапеции $h$ делится средней линией пополам, поэтому высота каждой из меньших трапеций равна $\frac{h}{2}$.

Площадь "верхней" трапеции (с основаниями $a$ и $m$): $S_1 = \frac{a + m}{2} \cdot \frac{h}{2}$.

Площадь "нижней" трапеции (с основаниями $m$ и $b$): $S_2 = \frac{m + b}{2} \cdot \frac{h}{2}$.

В условии сказано, что площади этих частей относятся как 3 : 5. Так как $a < b$, то и $a+m < m+b$, следовательно, $S_1 < S_2$. Значит, $\frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{5}$.

Составим отношение площадей, используя их формулы: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{a + m}{2} \cdot \frac{h}{2}}{\frac{m + b}{2} \cdot \frac{h}{2}} = \frac{a + m}{m + b}$

Получаем уравнение: $\frac{a + m}{m + b} = \frac{3}{5}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим известные значения $m=10$ и $b = 20 - a$ в уравнение отношения: $\frac{a + 10}{10 + (20 - a)} = \frac{3}{5}$ $\frac{a + 10}{30 - a} = \frac{3}{5}$

Решим это уравнение методом перекрестного умножения: $5(a + 10) = 3(30 - a)$ $5a + 50 = 90 - 3a$ $8a = 40$ $a = 5$

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 5 см.

Ответ: 5 см.

б)

Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$ (где $a$ — меньшее основание), высоту как $h$, а среднюю линию как $m$. По условию, меньшее основание $a = 10$ см. Необходимо найти длину средней линии $m$.

Средняя линия делит трапецию на две меньшие трапеции, высота каждой из которых равна $\frac{h}{2}$. Площадь верхней трапеции (основания $a$ и $m$): $S_1 = \frac{a + m}{2} \cdot \frac{h}{2}$. Площадь нижней трапеции (основания $m$ и $b$): $S_2 = \frac{m + b}{2} \cdot \frac{h}{2}$.

Отношение их площадей по условию равно 3 : 4. Так как $a$ — меньшее основание, то $S_1$ — меньшая площадь. Следовательно, $\frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{4}$.

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{a + m}{2} \cdot \frac{h}{2}}{\frac{m + b}{2} \cdot \frac{h}{2}} = \frac{a + m}{m + b}$

Получаем уравнение: $\frac{a + m}{m + b} = \frac{3}{4}$

Из формулы средней линии $m = \frac{a + b}{2}$ выразим большее основание $b$: $2m = a + b$ $b = 2m - a$

Подставим известное значение $a = 10$ и выражение для $b$ в наше уравнение отношения: $\frac{10 + m}{m + (2m - 10)} = \frac{3}{4}$ $\frac{10 + m}{3m - 10} = \frac{3}{4}$

Решим полученное уравнение для $m$, используя перекрестное умножение: $4(10 + m) = 3(3m - 10)$ $40 + 4m = 9m - 30$ $70 = 5m$ $m = \frac{70}{5}$ $m = 14$

Следовательно, длина средней линии трапеции равна 14 см.

Ответ: 14 см.