Номер 72, страница 190 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

72. a) Диагонали трапеции, длина одной из которых равна 5, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 4.

б) Диагонали трапеции, длина одной из которых равна 13, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 12.

а) Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, высотой $h=4$ и взаимно перпендикулярными диагоналями $AC$ и $BD$. Пусть длина одной из диагоналей, например $AC$, равна 5. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$. Для решения задачи применим дополнительное построение. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$. Полученный четырехугольник $BCED$ является параллелограммом, так как $BC \parallel DE$ (как части оснований трапеции) и $CE \parallel BD$ (по построению). Следовательно, $CE = BD$ и $DE = BC$. Площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ACE$, так как у них общая высота $h$, а основание треугольника $AE = AD + DE = AD + BC$, то есть равно сумме оснований трапеции. $S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2}h = \frac{AE}{2}h = S_{\triangle ACE}$. По условию диагонали трапеции перпендикулярны: $AC \perp BD$. Так как $CE \parallel BD$, то $AC \perp CE$. Это означает, что треугольник $ACE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Проведем в треугольнике $ACE$ высоту из вершины $C$ к гипотенузе $AE$. Эта высота совпадает с высотой трапеции, поэтому ее длина равна $h=4$. Обозначим основание этой высоты на гипотенузе как $F$. Таким образом, $CF = 4$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AFC$ (угол $F$ прямой). По теореме Пифагора $AF^2 + CF^2 = AC^2$. Нам известны гипотенуза $AC = 5$ и катет $CF = 4$. Найдем второй катет $AF$: $AF^2 = AC^2 - CF^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$. $AF = \sqrt{9} = 3$. В прямоугольном треугольнике $ACE$ квадрат катета $AC$ равен произведению гипотенузы $AE$ на проекцию этого катета на гипотенузу $AF$. То есть, $AC^2 = AE \cdot AF$. Подставим известные значения: $5^2 = AE \cdot 3$ $25 = 3 \cdot AE$ $AE = \frac{25}{3}$. Теперь мы можем найти площадь треугольника $ACE$, которая равна площади трапеции: $S = S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot CF = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{3} \cdot 4 = \frac{100}{6} = \frac{50}{3}$.
Ответ: $\frac{50}{3}$.

б) Решение этой задачи аналогично предыдущей. Пусть дана трапеция с высотой $h=12$ и взаимно перпендикулярными диагоналями. Длина одной из диагоналей, пусть $AC$, равна 13. Используя то же дополнительное построение, что и в пункте а), мы сводим задачу к нахождению площади прямоугольного треугольника $ACE$. В этом треугольнике катет $AC=13$, а высота, проведенная к гипотенузе $AE$, равна высоте трапеции $h=12$. Обозначим ее $CF$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AFC$, образованный катетом $AC$, высотой $CF$ и проекцией $AF$ катета на гипотенузу. По теореме Пифагора: $AF^2 = AC^2 - CF^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$. $AF = \sqrt{25} = 5$. Используем свойство прямоугольного треугольника $ACE$: $AC^2 = AE \cdot AF$. Подставим известные значения: $13^2 = AE \cdot 5$ $169 = 5 \cdot AE$ $AE = \frac{169}{5}$. Площадь трапеции равна площади треугольника $ACE$: $S = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot CF = \frac{1}{2} \cdot \frac{169}{5} \cdot 12 = \frac{169 \cdot 6}{5} = \frac{1014}{5} = 202.8$.
Ответ: $202.8$.