Номер 69, страница 189 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

69. a) Острые углы трапеции равны $72^\circ$ и $18^\circ$, основания — 10 см и 26 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

б) Большее основание трапеции равно 30 см, а острые углы равны $64^\circ$ и $26^\circ$. Найдите меньшее основание трапеции, если длина отрезка, соединяющего середины ее оснований, равна 11 см.

а)

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, основания равны $AD = 26$ см и $BC = 10$ см, а острые углы при большем основании составляют $\angle A = 72^\circ$ и $\angle D = 18^\circ$. Пусть $M$ — середина меньшего основания $BC$, а $N$ — середина большего основания $AD$. Требуется найти длину отрезка $MN$.

Выполним дополнительное построение: продолжим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$. Рассмотрим полученный треугольник $\triangle APD$. Сумма углов при его основании $AD$ равна:

$\angle PAD + \angle PDA = 72^\circ + 18^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, угол при вершине $P$ в этом треугольнике равен:

$\angle APD = 180^\circ - (\angle PAD + \angle PDA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle APD$ является прямоугольным с гипотенузой $AD$.

Точка $N$ является серединой гипотенузы $AD$ прямоугольного треугольника $\triangle APD$. Отрезок $PN$ — это медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине длины гипотенузы:

$PN = \frac{1}{2} AD = \frac{26}{2} = 13$ см.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то треугольник $\triangle PBC$ подобен треугольнику $\triangle APD$. Значит, $\triangle PBC$ также является прямоугольным треугольником ($\angle BPC = 90^\circ$) с гипотенузой $BC$.

Точка $M$ — середина гипотенузы $BC$. Отрезок $PM$ является медианой, проведенной к гипотенузе в $\triangle PBC$. Его длина равна:

$PM = \frac{1}{2} BC = \frac{10}{2} = 5$ см.

Так как медианы $PN$ и $PM$ проведены из общей вершины $P$ в подобных треугольниках, они лежат на одной прямой. Следовательно, точки $P$, $M$ и $N$ коллинеарны. Искомый отрезок $MN$ можно найти как разность длин отрезков $PN$ и $PM$:

$MN = PN - PM = 13 - 5 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

б)

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, большее основание $AD = 30$ см, а острые углы при нем равны $\angle A = 64^\circ$ и $\angle D = 26^\circ$. Пусть $M$ и $N$ — середины оснований $BC$ и $AD$. Длина отрезка, соединяющего середины оснований, $MN = 11$ см. Обозначим длину меньшего основания $BC$ как $b$. Требуется найти $b$.

Используем тот же метод, что и в пункте а). Продолжим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$. В треугольнике $\triangle APD$ сумма углов при основании $AD$ равна:

$\angle A + \angle D = 64^\circ + 26^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, угол при вершине $P$ равен $\angle APD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Треугольник $\triangle APD$ — прямоугольный с гипотенузой $AD$.

Точка $N$ — середина гипотенузы $AD$. Длина медианы $PN$, проведенной к гипотенузе, равна половине ее длины:

$PN = \frac{1}{2} AD = \frac{30}{2} = 15$ см.

Так как $BC \parallel AD$, треугольник $\triangle PBC$ подобен $\triangle APD$ и также является прямоугольным с гипотенузой $BC$. Точка $M$ — середина гипотенузы $BC$, а $PM$ — медиана к ней. Длина $PM$ равна:

$PM = \frac{1}{2} BC = \frac{b}{2}$.

Точки $P$, $M$, $N$ лежат на одной прямой. Длина отрезка $MN$ равна разности длин отрезков $PN$ и $PM$:

$MN = PN - PM$.

Подставим известные значения в это равенство:

$11 = 15 - \frac{b}{2}$.

Теперь решим это уравнение относительно $b$:

$\frac{b}{2} = 15 - 11$

$\frac{b}{2} = 4$

$b = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.