Номер 70, страница 189 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

70. a) Биссектриса острого угла равнобедренной трапеции делит боковую сторону на отрезки 20 см и 30 см, считая от меньшего основания. Найдите площадь трапеции, если ее большее основание равно 66 см.

б) Биссектриса острого угла равнобедренной трапеции делит боковую сторону на отрезки, отношение которых равно $11:12$, считая от меньшего основания. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2 см и 12 см.

а)

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC — основания, причем $AD > BC$. AB и CD — боковые стороны, $AB=CD$. Пусть биссектриса острого угла $\angle A$ пересекает боковую сторону CD в точке K. По условию, точка K делит сторону CD на отрезки $CK = 20$ см и $KD = 30$ см, считая от меньшего основания BC. Большее основание $AD = 66$ см.

Длина боковой стороны $CD = CK + KD = 20 + 30 = 50$ см. Так как трапеция равнобедренная, $AB = CD = 50$ см.

Продолжим биссектрису AK и основание BC до их пересечения в точке M. Поскольку прямые AD и BM параллельны, накрест лежащие углы $\angle DAK$ и $\angle BMA$ равны. Так как AK — биссектриса угла $\angle DAB$, то $\angle DAK = \angle KAB$. Следовательно, $\angle BMA = \angle MAB$, и треугольник ABM является равнобедренным с $AB = BM$. Отсюда $BM = 50$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle KCM$ и $\triangle KDA$. Углы $\angle CKM$ и $\angle DKA$ равны как вертикальные. Углы $\angle KMC$ и $\angle KAD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AM. Значит, треугольники $\triangle KCM$ и $\triangle KDA$ подобны по двум углам.

Из подобия следует отношение сторон: $\frac{MC}{AD} = \frac{CK}{DK}$. Подставим известные значения: $\frac{MC}{66} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$. Отсюда находим $MC = \frac{2}{3} \cdot 66 = 44$ см.

Зная BM и MC, найдем меньшее основание BC: $BM = BC + MC \implies 50 = BC + 44 \implies BC = 6$ см.

Для нахождения площади трапеции нужна ее высота $h$. Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. В равнобедренной трапеции отрезок $DH$, отсекаемый высотой на большем основании, равен полуразности оснований: $DH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{66 - 6}{2} = 30$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDH$. По теореме Пифагора: $CD^2 = CH^2 + DH^2$. Высота $h = CH$, тогда $h^2 = CD^2 - DH^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600$. Отсюда $h = \sqrt{1600} = 40$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$. $S = \frac{66 + 6}{2} \cdot 40 = \frac{72}{2} \cdot 40 = 36 \cdot 40 = 1440$ см$^2$.

Ответ: 1440 см$^2$.

б)

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC — основания, $AD=12$ см, $BC=2$ см. Пусть биссектриса острого угла $\angle A$ пересекает боковую сторону CD в точке K. По условию, $CK : KD = 11 : 12$. Обозначим $CK = 11x$ и $KD = 12x$. Тогда длина боковой стороны $CD = AB = 11x + 12x = 23x$.

Используем тот же метод, что и в пункте а). Продолжим биссектрису AK и основание BC до пересечения в точке M. Треугольник $\triangle ABM$ будет равнобедренным, $AB=BM$. Следовательно, $BM = 23x$.

Треугольники $\triangle KCM$ и $\triangle KDA$ подобны (по двум углам, как и в задаче а). Из подобия следует: $\frac{MC}{AD} = \frac{CK}{KD} = \frac{11x}{12x} = \frac{11}{12}$.

Подставим известное значение $AD=12$: $\frac{MC}{12} = \frac{11}{12}$, откуда $MC = 11$ см.

Длина отрезка $BM = BC + MC$. Подставим известные и найденные значения: $23x = 2 + 11 = 13$. Отсюда $x = \frac{13}{23}$.

Теперь найдем длину боковой стороны: $CD = 23x = 23 \cdot \frac{13}{23} = 13$ см.

Для нахождения площади найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту CH на основание AD. Длина отрезка $DH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 - 2}{2} = 5$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle CDH$ по теореме Пифагора: $h^2 = CD^2 - DH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$. Отсюда $h = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь трапеции равна $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{12 + 2}{2} \cdot 12 = \frac{14}{2} \cdot 12 = 7 \cdot 12 = 84$ см$^2$.

Ответ: 84 см$^2$.