Номер 63, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

63. a) Через точку $O$ пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Докажите, что точка $O$ делит пополам отрезок, отсекаемый от прямой боковыми сторонами трапеции.

б) Докажите, что в трапеции, диагонали которой являются биссектрисами углов при одном из оснований, длины трех сторон равны.

а)

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD \parallel BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Через точку $O$ проведена прямая, параллельная основаниям $AD$ и $BC$. Эта прямая пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Требуется доказать, что точка $O$ делит отрезок $MN$ пополам, то есть $MO = ON$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как отрезок $MO$ является частью прямой $MN$, а $MN \parallel AD$, то $MO \parallel AD$. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $O$ лежит на диагонали $BD$, треугольник $MBO$ подобен треугольнику $ABD$ (угол при вершине $B$ общий, а углы $\angle BMO$ и $\angle BAD$ равны как соответственные при параллельных прямых $MO, AD$ и секущей $AB$).

Из подобия треугольников $MBO$ и $ABD$ следует пропорциональность сторон:

$\frac{MO}{AD} = \frac{BO}{BD}$ (1)

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Так как отрезок $ON$ является частью прямой $MN$, а $MN \parallel AD$, то $ON \parallel AD$. Поскольку точка $N$ лежит на стороне $CD$, а точка $O$ лежит на диагонали $AC$, треугольник $CON$ подобен треугольнику $CAD$ (угол при вершине $C$ общий, а углы $\angle CNO$ и $\angle CDA$ равны как соответственные при параллельных прямых $ON, AD$ и секущей $CD$).

Из подобия треугольников $CON$ и $CAD$ следует пропорциональность сторон:

$\frac{ON}{AD} = \frac{CO}{CA}$ (2)

Для доказательства равенства $MO=ON$ нам достаточно доказать, что правые части равенств (1) и (2) равны, то есть $\frac{BO}{BD} = \frac{CO}{CA}$.

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $DOA$. Они подобны, так как образованы пересечением диагоналей трапеции. Углы $\angle BOC$ и $\angle DOA$ равны как вертикальные. Углы $\angle CBO$ и $\angle ADO$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC, AD$ и секущей $BD$. Аналогично, $\angle BCO = \angle DAO$.

Из подобия $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ следует соотношение:

$\frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO}$

Перевернем дроби: $\frac{DO}{BO} = \frac{AO}{CO}$. Прибавим к обеим частям равенства по единице:

$\frac{DO}{BO} + 1 = \frac{AO}{CO} + 1$

$\frac{DO+BO}{BO} = \frac{AO+CO}{CO}$

$\frac{BD}{BO} = \frac{AC}{CO}$

Перевернув дроби обратно, получаем искомое равенство:

$\frac{BO}{BD} = \frac{CO}{CA}$

Теперь, сравнивая равенства (1) и (2), мы видим, что их правые части равны. Следовательно, равны и левые части:

$\frac{MO}{AD} = \frac{ON}{AD}$

Отсюда следует, что $MO = ON$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Пусть диагонали являются биссектрисами углов при одном из оснований. Для определенности, пусть это будет основание $AD$. Это означает, что диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$, а диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle CDA$. Требуется доказать, что длины трех сторон трапеции равны.

Рассмотрим диагональ $AC$. По условию, она является биссектрисой угла $\angle DAB$, следовательно:

$\angle CAB = \angle CAD$ (1)

Поскольку $BC \parallel AD$, углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC, AD$ и секущей $AC$. Следовательно, они равны:

$\angle BCA = \angle CAD$ (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что $\angle CAB = \angle BCA$.

Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как углы при его основании $AC$ равны. Отсюда следует равенство сторон: $AB = BC$.

Теперь рассмотрим диагональ $BD$. По условию, она является биссектрисой угла $\angle CDA$, следовательно:

$\angle CDB = \angle BDA$ (3)

Поскольку $BC \parallel AD$, углы $\angle CBD$ и $\angle BDA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC, AD$ и секущей $BD$. Следовательно, они равны:

$\angle CBD = \angle BDA$ (4)

Из равенств (3) и (4) следует, что $\angle CBD = \angle CDB$.

Это означает, что треугольник $BCD$ является равнобедренным, так как углы при его основании $BD$ равны. Отсюда следует равенство сторон: $CD = BC$.

Объединяя полученные результаты, мы имеем $AB = BC$ и $CD = BC$. Таким образом, получаем:

$AB = BC = CD$

Мы доказали, что две боковые стороны трапеции ($AB$ и $CD$) равны по длине меньшему основанию ($BC$). Следовательно, длины трех сторон равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.