Номер 64, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

64. a) $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD$, причем $AD > BC$, $\angle ABD = \angle BCD$, $CB = 6$, $DB = 9$. Найдите основание $AD$.

б) $MNPK$ — трапеция с основаниями $MK$ и $NP$, причем $MK > NP$, $\angle MNK = \angle NPK$, $NP = 4$, $NK = 6$. Найдите основание $MK$.

а)

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. По определению трапеции, прямые, содержащие основания, параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCB$.

1. Углы $\angle ADB$ и $\angle CBD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$. Следовательно, $\angle ADB = \angle CBD$.

2. По условию задачи нам дано, что $\angle ABD = \angle BCD$.

Поскольку два угла треугольника $\triangle ABD$ (а именно $\angle ADB$ и $\angle ABD$) соответственно равны двум углам треугольника $\triangle DCB$ (а именно $\angle CBD$ и $\angle BCD$), то эти треугольники подобны по признаку подобия по двум углам. Запишем подобие с учетом соответствия вершин: $\triangle ABD \sim \triangle DCB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AD}{DB} = \frac{BD}{CB} = \frac{AB}{DC}$

Для нахождения основания $AD$ воспользуемся первой частью пропорции:

$\frac{AD}{DB} = \frac{BD}{CB}$

Подставим известные из условия значения: $CB = 6$ и $DB = 9$.

$\frac{AD}{9} = \frac{9}{6}$

Выразим $AD$ из этого уравнения:

$AD = 9 \cdot \frac{9}{6} = \frac{81}{6} = \frac{27}{2} = 13.5$

Ответ: 13.5

б)

Рассмотрим трапецию $MNPK$ с основаниями $MK$ и $NP$. По определению трапеции, $NP \parallel MK$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MNK$ и $\triangle KPN$.

1. Углы $\angle NKM$ и $\angle PNK$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $MK$ и $NP$ и секущей $NK$. Следовательно, $\angle NKM = \angle PNK$.

2. По условию задачи нам дано, что $\angle MNK = \angle NPK$.

Поскольку два угла треугольника $\triangle MNK$ (а именно $\angle NKM$ и $\angle MNK$) соответственно равны двум углам треугольника $\triangle KPN$ (а именно $\angle PNK$ и $\angle NPK$), то эти треугольники подобны по признаку подобия по двум углам. Запишем подобие с учетом соответствия вершин: $\triangle MNK \sim \triangle KPN$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{MK}{KN} = \frac{NK}{PN} = \frac{MN}{KP}$

Для нахождения основания $MK$ воспользуемся первой частью пропорции:

$\frac{MK}{KN} = \frac{NK}{PN}$

Подставим известные из условия значения: $NP = 4$ и $NK = 6$.

$\frac{MK}{6} = \frac{6}{4}$

Выразим $MK$ из этого уравнения:

$MK = 6 \cdot \frac{6}{4} = \frac{36}{4} = 9$

Ответ: 9