Номер 67, страница 189 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

67. а) $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD$, причем $AD > BC$, $O$ — точка пересечения ее диагоналей. Найдите площадь трапеции $ABCD$, если $BC : AD = 2 : 3$, а площадь треугольника $ABO$ равна 15.

б) $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD$, причем $AD > BC$, $O$ — точка пересечения ее диагоналей. Найдите площадь трапеции $ABCD$, если $AO : OC = 5 : 2$, а площадь треугольника $BOC$ равна 8.

а) В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, образованные пересечением диагоналей, подобны по двум углам ($\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные, $\angle BCO = \angle DAO$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $AC$).

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению их оснований: $k = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{3}$.

Отношение отрезков диагоналей также равно коэффициенту подобия: $\frac{CO}{AO} = \frac{BO}{DO} = k = \frac{2}{3}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle BOC$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к диагонали $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований: $\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle BOC}} = \frac{AO}{CO}$. Из соотношения выше $\frac{AO}{CO} = \frac{3}{2}$.

По условию $S_{\triangle ABO} = 15$, тогда $S_{\triangle BOC} = S_{\triangle ABO} \cdot \frac{CO}{AO} = 15 \cdot \frac{2}{3} = 10$.

В трапеции площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны: $S_{\triangle CDO} = S_{\triangle ABO}$. Это следует из того, что площади треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны, так как у них общее основание $AD$ и равные высоты (высота трапеции). Отсюда $S_{\triangle ABO} + S_{\triangle ADO} = S_{\triangle CDO} + S_{\triangle ADO}$, что означает $S_{\triangle ABO} = S_{\triangle CDO} = 15$.

Отношение площадей подобных треугольников $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle DOA}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$.

Отсюда $S_{\triangle DOA} = S_{\triangle BOC} \cdot \frac{9}{4} = 10 \cdot \frac{9}{4} = 22.5$.

Площадь всей трапеции равна сумме площадей четырех треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABO} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle CDO} + S_{\triangle DOA} = 15 + 10 + 15 + 22.5 = 62.5$.

Ответ: 62.5

б) Как и в предыдущем пункте, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны ($BC \parallel AD$). Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон: $k = \frac{OC}{AO} = \frac{BO}{DO}$.

По условию дано отношение $AO : OC = 5 : 2$, значит, коэффициент подобия $k = \frac{OC}{AO} = \frac{2}{5}$.

Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle ABO$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований: $\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle BOC}} = \frac{AO}{OC} = \frac{5}{2}$.

По условию $S_{\triangle BOC} = 8$, тогда $S_{\triangle ABO} = S_{\triangle BOC} \cdot \frac{AO}{OC} = 8 \cdot \frac{5}{2} = 20$.

Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны: $S_{\triangle CDO} = S_{\triangle ABO} = 20$.

Отношение площадей подобных треугольников $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle DOA}} = k^2 = (\frac{OC}{AO})^2 = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$.

Подставив $S_{\triangle BOC} = 8$, получим $S_{\triangle DOA} = S_{\triangle BOC} \cdot \frac{25}{4} = 8 \cdot \frac{25}{4} = 50$.

Площадь трапеции равна сумме площадей четырех треугольников, на которые ее разбивают диагонали: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABO} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle CDO} + S_{\triangle DOA} = 20 + 8 + 20 + 50 = 98$.

Ответ: 98