Номер 38, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

38. a) Стороны параллелограмма равны 1 см и 2 см, а одна из диагоналей – $\sqrt{7}$ см. Найдите меньшую высоту параллелограмма.

б) Стороны параллелограмма равны 5 см и $2\sqrt{3}$ см, а одна из диагоналей – $\sqrt{7}$ см. Найдите большую высоту параллелограмма.

а)

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 1$ см и $b = 2$ см, а одна из диагоналей $d_1 = \sqrt{7}$ см. В параллелограмме две высоты: $h_a$, опущенная на сторону $a$, и $h_b$, опущенная на сторону $b$. Меньшая высота проведена к большей стороне, следовательно, нам нужно найти высоту $h_b$, проведенную к стороне $b=2$ см.

Сначала найдем площадь параллелограмма. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного сторонами $a$, $b$ и диагональю $d_1$. Пусть $\beta$ — угол между сторонами $a$ и $b$, напротив которого лежит диагональ $d_1$.

По теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\beta)$.

Подставим известные значения:

$(\sqrt{7})^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos(\beta)$

$7 = 1 + 4 - 4 \cos(\beta)$

$7 = 5 - 4 \cos(\beta)$

$2 = -4 \cos(\beta)$

$\cos(\beta) = -\frac{1}{2}$

Так как косинус отрицательный, угол $\beta$ является тупым: $\beta = 120^\circ$. Смежный с ним острый угол параллелограмма $\alpha$ равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = ab \sin(\alpha)$:

$S = 1 \cdot 2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь также можно выразить через сторону и высоту, опущенную на нее: $S = b \cdot h_b$.

Найдем меньшую высоту $h_b$:

$\sqrt{3} = 2 \cdot h_b$

$h_b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

б)

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 5$ см и $b = 2\sqrt{3}$ см, а одна из диагоналей $d_1 = \sqrt{7}$ см. В параллелограмме большая высота проведена к меньшей стороне. Сравним стороны: $a^2 = 5^2 = 25$, $b^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$. Так как $25 > 12$, то $a > b$. Следовательно, нам нужно найти высоту $h_b$, проведенную к меньшей стороне $b = 2\sqrt{3}$ см.

Для нахождения площади найдем угол между сторонами. Проверим, какой диагонали соответствует данное значение $d_1 = \sqrt{7}$ см. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

$(\sqrt{7})^2 + d_2^2 = 2(5^2 + (2\sqrt{3})^2) = 2(25 + 12) = 2(37) = 74$.

$7 + d_2^2 = 74 \Rightarrow d_2^2 = 67 \Rightarrow d_2 = \sqrt{67}$ см.

Поскольку $\sqrt{7} < \sqrt{67}$, данная диагональ $d_1 = \sqrt{7}$ является меньшей. Меньшая диагональ лежит напротив острого угла параллелограмма. Пусть этот угол будет $\alpha$.

По теореме косинусов для треугольника со сторонами $a$, $b$ и диагональю $d_1$:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

$(\sqrt{7})^2 = 5^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(\alpha)$

$7 = 25 + 12 - 20\sqrt{3} \cos(\alpha)$

$7 = 37 - 20\sqrt{3} \cos(\alpha)$

$20\sqrt{3} \cos(\alpha) = 30$

$\cos(\alpha) = \frac{30}{20\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда, острый угол $\alpha = 30^\circ$.

Площадь параллелограмма: $S = ab \sin(\alpha)$.

$S = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{3}$ см$^2$.

Теперь найдем большую высоту $h_b$ из формулы площади $S = b \cdot h_b$:

$5\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot h_b$

$h_b = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Ответ: $2.5$ см.