Номер 36, страница 182 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

36. a) Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 4 см и 6 см, а отношение двух его углов — $1:2$.

б) Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 8 см и 6 см, а отношение двух его углов — $1:5$.

Пусть углы параллелограмма равны $ \alpha $ и $ \beta $. По свойству параллелограмма, сумма соседних углов равна $180^\circ$, то есть $ \alpha + \beta = 180^\circ $. Из условия, отношение углов равно $1:2$, поэтому можно обозначить один угол как $x$, а другой как $2x$.

Составим уравнение: $ x + 2x = 180^\circ $, откуда $ 3x = 180^\circ $, и $ x = 60^\circ $. Следовательно, углы параллелограмма равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

Пусть $ a $ и $ b $ — стороны параллелограмма, а $ d_1 = 4 $ см и $ d_2 = 6 $ см — его диагонали. Воспользуемся теоремой косинусов для треугольников, образованных сторонами и диагоналями параллелограмма. Меньшая диагональ лежит напротив острого угла, а большая — напротив тупого.

Для диагонали $ d_1 = 4 $ см, лежащей напротив угла $ 60^\circ $:
$ d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^\circ) $
$ 4^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \frac{1}{2} $
$ 16 = a^2 + b^2 - ab $ (1)

Для диагонали $ d_2 = 6 $ см, лежащей напротив угла $ 120^\circ $:
$ d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ) $
$ 6^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-\frac{1}{2}) $
$ 36 = a^2 + b^2 + ab $ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
$ (a^2 + b^2 + ab) - (a^2 + b^2 - ab) = 36 - 16 $
$ 2ab = 20 $
$ ab = 10 $

Площадь параллелограмма $ S $ можно найти по формуле $ S = ab \sin\alpha $, где $ \alpha $ — угол между сторонами $ a $ и $ b $.
$ S = 10 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} $ см$^2$.

Ответ: $5\sqrt{3}$ см$^2$.

Аналогично пункту а), найдем углы параллелограмма. Пусть они равны $x$ и $5x$.
$ x + 5x = 180^\circ $, откуда $ 6x = 180^\circ $, и $ x = 30^\circ $. Следовательно, углы параллелограмма равны $30^\circ$ и $150^\circ$.

Даны диагонали $ d_1 = 6 $ см и $ d_2 = 8 $ см. Пусть $ a $ и $ b $ — стороны параллелограмма. Меньшая диагональ $ d_1 = 6 $ см лежит напротив острого угла $ 30^\circ $, а большая диагональ $ d_2 = 8 $ см — напротив тупого угла $ 150^\circ $.

Применим теорему косинусов:
Для диагонали $ d_1 = 6 $ см:
$ d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(30^\circ) $
$ 6^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ 36 = a^2 + b^2 - ab\sqrt{3} $ (1)

Для диагонали $ d_2 = 8 $ см:
$ d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(150^\circ) $
$ 8^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) $
$ 64 = a^2 + b^2 + ab\sqrt{3} $ (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
$ (a^2 + b^2 + ab\sqrt{3}) - (a^2 + b^2 - ab\sqrt{3}) = 64 - 36 $
$ 2ab\sqrt{3} = 28 $
$ ab = \frac{28}{2\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}} $

Площадь параллелограмма $ S = ab \sin\alpha $:
$ S = \frac{14}{\sqrt{3}} \cdot \sin(30^\circ) = \frac{14}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} $ см$^2$.

Ответ: $\frac{7\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.