Номер 30, страница 181 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

30. а) Высота треугольника, равная 4 см, делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, относящиеся как 1 : 8. Отрезок, параллельный этой высоте, делит треугольник на две равновеликие части. Найдите длину этого отрезка.

б) В треугольнике проведен отрезок, перпендикулярный одной из сторон, так, что треугольник делится на две равновеликие части. Длина отрезка равна 6 см. Найдите высоту треугольника, параллельную этому отрезку, зная, что она делит сторону, к которой проведена, на отрезки, отношение которых равно 1 : 3.

а)

Пусть дан треугольник $ABC$, к стороне $AC$ которого проведена высота $BH = 4$ см. Точка $H$ делит сторону $AC$ на отрезки $AH$ и $HC$, которые относятся как $1:8$. Для определенности положим, что $AH$ — меньший отрезок. Тогда можно обозначить $AH = x$, а $HC = 8x$. Вся сторона $AC = AH + HC = 9x$.

Площадь всего треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 9x \cdot 4 = 18x$.

Высота $BH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $ABH$ и $BHC$. Их площади равны:$S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 4 = 2x$.$S_{BHC} = \frac{1}{2} \cdot HC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8x \cdot 4 = 16x$.

По условию, отрезок, параллельный высоте $BH$, делит треугольник на две равновеликие части. Это означает, что он делит его на две фигуры, площади которых равны $S_{ABC} / 2 = 18x / 2 = 9x$. Пусть этот отрезок — $MN$, где $M$ лежит на одной из боковых сторон, а $N$ — на основании $AC$. Так как $MN \parallel BH$, то $MN \perp AC$.

Отрезок $MN$ отсекает от треугольника $ABC$ меньший треугольник, площадь которого должна быть равна $9x$. Сравним эту площадь с площадями треугольников $ABH$ и $BHC$. Поскольку $S_{ABH} = 2x < 9x$, а $S_{BHC} = 16x > 9x$, отсекаемый треугольник должен находиться внутри большего треугольника $BHC$. Таким образом, точка $M$ лежит на стороне $BC$, а точка $N$ — на отрезке $HC$.

Рассмотрим треугольник $MNC$. Он подобен треугольнику $BHC$, так как у них общий угол $C$, и оба они прямоугольные ($\angle MNC = \angle BHC = 90^\circ$). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответствующих высот. В данном случае высотами являются сами отрезки $MN$ и $BH$. Пусть длина искомого отрезка $MN = h'$. Тогда:$\frac{S_{MNC}}{S_{BHC}} = \left(\frac{MN}{BH}\right)^2$

Подставим известные значения:$S_{MNC} = 9x$$S_{BHC} = 16x$$BH = 4$ см$\frac{9x}{16x} = \left(\frac{h'}{4}\right)^2$$\frac{9}{16} = \frac{(h')^2}{16}$$(h')^2 = 9$$h' = 3$ см.

Ответ: 3 см.

б)

Эта задача является обратной к предыдущей. Пусть дан треугольник $ABC$. В нем проведен отрезок $DE = 6$ см, перпендикулярный стороне $AC$ (пусть $E$ лежит на $AC$, $D$ — на $BC$), который делит треугольник $ABC$ на две равновеликие части.

Требуется найти высоту $BH$, проведенную к стороне $AC$. Поскольку $DE \perp AC$ и $BH \perp AC$, то $DE \parallel BH$. По условию, высота $BH$ делит сторону $AC$ на отрезки $AH$ и $HC$, отношение которых равно $1:3$. Пусть $AH = x$, тогда $HC = 3x$. Вся сторона $AC = 4x$.

Пусть искомая высота $BH = h$. Площадь всего треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 4x \cdot h = 2xh$.

Отрезок $DE$ делит треугольник на две равновеликие части, значит, он отсекает от него треугольник $DEC$, площадь которого равна половине площади всего треугольника:$S_{DEC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} (2xh) = xh$.

Высота $BH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника $ABH$ и $BHC$. Определим, в каком из них находится отсекаемый треугольник $DEC$. Для этого сравним их площади:$S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h = 0.5xh$.$S_{BHC} = \frac{1}{2} \cdot HC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 3x \cdot h = 1.5xh$.

Поскольку $S_{DEC} = xh$, а $S_{ABH} = 0.5xh < xh$, и $S_{BHC} = 1.5xh > xh$, то отсекаемый треугольник $DEC$ находится внутри большего треугольника $BHC$.

Треугольники $DEC$ и $BHC$ подобны (по двум углам: общий угол $C$ и прямые углы $\angle DEC$ и $\angle BHC$). Отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон (или высот). Отрезки $DE$ и $BH$ являются катетами и соответствующими высотами в этих подобных прямоугольных треугольниках.

$\frac{S_{DEC}}{S_{BHC}} = \left(\frac{DE}{BH}\right)^2$

Подставим известные выражения и значения:$\frac{xh}{1.5xh} = \left(\frac{6}{h}\right)^2$$\frac{1}{1.5} = \frac{36}{h^2}$$\frac{2}{3} = \frac{36}{h^2}$$2h^2 = 3 \cdot 36 = 108$$h^2 = 54$$h = \sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$ см.

Ответ: $3\sqrt{6}$ см.