Номер 26, страница 180 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

26. a) Дан треугольник $ABC$. На стороне $AC$ взята точка $K$, а на стороне $BC$ — точка $M$ так, что $CK : AC = 5 : 6$, $S_{\triangle KMC} : S_{AKMB} = 5 : 6$. Найдите отношение $CM : MB$.

б) Дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ взята точка $T$, а на стороне $CB$ — точка $E$ так, что $AT : TB = 2 : 3$, $S_{ACET} : S_{\triangle TBE} = 5 : 4$. Найдите отношение $CE : BE$.

а) Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольника $KMC$ и четырехугольника $AKMB$: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle KMC} + S_{AKMB}$. По условию $S_{\triangle KMC} : S_{AKMB} = 5:6$. Обозначим $S_{\triangle KMC} = 5x$, тогда $S_{AKMB} = 6x$. Следовательно, $S_{\triangle ABC} = 5x + 6x = 11x$. Тогда отношение площади треугольника $KMC$ к площади треугольника $ABC$ равно $S_{\triangle KMC} : S_{\triangle ABC} = 5x : 11x = 5:11$. Треугольники $KMC$ и $ABC$ имеют общий угол $C$. Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Запишем отношение площадей этих треугольников: $$ \frac{S_{\triangle KMC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot CK \cdot CM \cdot \sin C}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C} = \frac{CK}{AC} \cdot \frac{CM}{BC} $$ Подставим известные значения. Из условия $CK:AC = 5:6$. Отношение площадей мы нашли выше. $$ \frac{5}{11} = \frac{5}{6} \cdot \frac{CM}{BC} $$ Отсюда находим отношение $CM$ к $BC$: $$ \frac{CM}{BC} = \frac{5}{11} : \frac{5}{6} = \frac{5}{11} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{11} $$ Так как точка $M$ лежит на стороне $BC$, то $BC = CM + MB$. Тогда $CM = \frac{6}{11}BC = \frac{6}{11}(CM + MB)$. $11 \cdot CM = 6 \cdot (CM + MB)$ $11 \cdot CM = 6 \cdot CM + 6 \cdot MB$ $5 \cdot CM = 6 \cdot MB$ Разделив обе части на $MB$ и на $5$, получим: $$ \frac{CM}{MB} = \frac{6}{5} $$ Ответ: $6:5$.

б) Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей четырехугольника $ACET$ и треугольника $TBE$: $S_{\triangle ABC} = S_{ACET} + S_{\triangle TBE}$. По условию $S_{ACET} : S_{\triangle TBE} = 5:4$. Обозначим $S_{ACET} = 5x$, тогда $S_{\triangle TBE} = 4x$. Следовательно, $S_{\triangle ABC} = 5x + 4x = 9x$. Тогда отношение площади треугольника $TBE$ к площади треугольника $ABC$ равно $S_{\triangle TBE} : S_{\triangle ABC} = 4x : 9x = 4:9$. Треугольники $TBE$ и $ABC$ имеют общий угол $B$. Запишем отношение их площадей: $$ \frac{S_{\triangle TBE}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot TB \cdot BE \cdot \sin B}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CB \cdot \sin B} = \frac{TB}{AB} \cdot \frac{BE}{CB} $$ Из условия $AT:TB = 2:3$, значит $AB = AT + TB$. Если $AT=2y$, а $TB=3y$, то $AB = 2y+3y=5y$. Тогда отношение $TB$ к $AB$ равно $\frac{TB}{AB} = \frac{3y}{5y} = \frac{3}{5}$. Подставим известные значения в формулу для отношения площадей: $$ \frac{4}{9} = \frac{3}{5} \cdot \frac{BE}{CB} $$ Отсюда находим отношение $BE$ к $CB$: $$ \frac{BE}{CB} = \frac{4}{9} : \frac{3}{5} = \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{3} = \frac{20}{27} $$ Так как точка $E$ лежит на стороне $CB$, то $CB = CE + BE$. Тогда $BE = \frac{20}{27}CB = \frac{20}{27}(CE + BE)$. $27 \cdot BE = 20 \cdot (CE + BE)$ $27 \cdot BE = 20 \cdot CE + 20 \cdot BE$ $7 \cdot BE = 20 \cdot CE$ Разделив обе части на $BE$ и на $20$, получим: $$ \frac{CE}{BE} = \frac{7}{20} $$ Ответ: $7:20$.