Номер 20, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20. a) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 40. Найдите основание треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении $8:3$.

б) Основание равнобедренного треугольника равно 20. Найдите боковую сторону треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении $7:2$.

а)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 40$ и основанием $AC$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой угла при вершине.

Центр вписанной окружности (инцентр), обозначим его $I$, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Поскольку $BH$ — биссектриса угла $ABC$, инцентр $I$ лежит на высоте $BH$.

По условию, инцентр $I$ делит высоту $BH$ в отношении $8:3$, считая от вершины $B$. Это означает, что отношение отрезков $BI$ к $IH$ равно $8:3$. Отрезок $IH$ равен радиусу вписанной окружности $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Отрезок $AI$ является биссектрисой угла $BAH$ (поскольку $I$ — центр вписанной окружности). По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. В треугольнике $ABH$ биссектриса $AI$ делит сторону $BH$ на отрезки $BI$ и $IH$. Следовательно:

$$ \frac{AB}{AH} = \frac{BI}{IH} $$

Подставим известные значения в эту формулу: $AB = 40$ и $\frac{BI}{IH} = \frac{8}{3}$.

$$ \frac{40}{AH} = \frac{8}{3} $$

Теперь найдем $AH$:

$$ AH = \frac{40 \cdot 3}{8} = 5 \cdot 3 = 15 $$

Поскольку $BH$ является медианой, точка $H$ — середина основания $AC$. Значит, длина основания $AC$ в два раза больше длины отрезка $AH$:

$$ AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 15 = 30 $$

Ответ: 30

б)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 20$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. Как и в предыдущей задаче, высота $BH$ является также медианой и биссектрисой, а центр вписанной окружности $I$ лежит на ней.

Поскольку $BH$ — медиана, она делит основание $AC$ пополам:

$$ AH = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$

По условию, центр вписанной окружности делит высоту $BH$ в отношении $7:2$, считая от вершины $B$. Таким образом, $\frac{BI}{IH} = \frac{7}{2}$.

Снова рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ и воспользуемся свойством биссектрисы $AI$ угла $BAH$:

$$ \frac{AB}{AH} = \frac{BI}{IH} $$

Подставим известные значения: $AH = 10$ и $\frac{BI}{IH} = \frac{7}{2}$.

$$ \frac{AB}{10} = \frac{7}{2} $$

Теперь найдем длину боковой стороны $AB$:

$$ AB = \frac{7 \cdot 10}{2} = 7 \cdot 5 = 35 $$

Ответ: 35