Номер 15, страница 177 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15. a) Одна из сторон треугольника равна 8 см. Расстояние от точки пересечения медиан треугольника до этой стороны равно 4 см. Найдите площадь данного треугольника.

б) Площадь треугольника равна 30 $см^2$, одна из его сторон — 12 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до этой стороны.

а)

Обозначим треугольник как $ABC$, а сторону, равную 8 см, как $AC$. Таким образом, $AC = a = 8$ см. Пусть $M$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$, а $BH$ — высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$. Расстояние от точки $M$ до стороны $AC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на сторону $AC$. Обозначим этот перпендикуляр как $MK$, где $K$ лежит на $AC$. По условию, $MK = 4$ см.

Ключевым свойством точки пересечения медиан является то, что она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Рассмотрим медиану $BD$, проведенную к стороне $AC$. Точка $M$ лежит на $BD$ и делит ее так, что $BM:MD = 2:1$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BHD$ и $\triangle MKD$. У них есть общий острый угол $\angle D$, а углы $\angle BHD$ и $\angle MKD$ — прямые. Следовательно, эти треугольники подобны по двум углам. Из подобия следует соотношение сторон:
$\frac{MK}{BH} = \frac{MD}{BD}$

Из отношения $BM:MD = 2:1$ мы можем выразить всю медиану $BD$ через ее часть $MD$:
$BD = BM + MD = 2MD + MD = 3MD$
Тогда отношение $\frac{MD}{BD} = \frac{MD}{3MD} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, мы установили, что расстояние от точки пересечения медиан до стороны составляет одну треть высоты, проведенной к этой стороне:
$MK = \frac{1}{3} BH$

Теперь мы можем найти длину высоты $BH$:
$BH = 3 \cdot MK = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — длина стороны, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 = 4 \cdot 12 = 48$ см².

Ответ: 48 см².

б)

По условию, площадь треугольника $S = 30$ см², а одна из его сторон $a = 12$ см.

Сначала найдем высоту $h_a$, проведенную к данной стороне, используя формулу площади треугольника:
$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$
$30 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h_a$
$30 = 6 \cdot h_a$
$h_a = \frac{30}{6} = 5$ см.

Как было доказано в пункте а), расстояние от точки пересечения медиан до стороны, обозначим его $d$, равно одной трети высоты, проведенной к этой стороне ($h_a$):
$d = \frac{1}{3} h_a$

Подставим найденное значение высоты $h_a=5$ см в эту формулу:
$d = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3}$ см.

Ответ: $\frac{5}{3}$ см.