Номер 14, страница 177 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14. a) В треугольнике HKP $HK = 8$ см, $KP = 12$ см, $HP = 15$ см, KO — биссектриса треугольника. Найдите разность длин отрезков $OP$ и $HO$.

б) В треугольнике ABC $AB : BC = 3 : 4$, $AC = 14$ см, BK — биссектриса. Найдите разность длин отрезков $KC$ и $AK$.

а)

В треугольнике HKP проведена биссектриса KO из вершины K к стороне HP. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае это означает:

$\frac{HO}{OP} = \frac{HK}{KP}$

Подставим известные длины сторон HK = 8 см и KP = 12 см:

$\frac{HO}{OP} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Из этого соотношения мы можем выразить длины отрезков HO и OP через некоторую переменную $x$. Пусть $HO = 2x$, тогда $OP = 3x$.

Точка O лежит на стороне HP, поэтому сумма длин отрезков HO и OP равна длине стороны HP:

$HO + OP = HP$

$2x + 3x = 15$

$5x = 15$

$x = \frac{15}{5} = 3$ см

Теперь найдем длины отрезков HO и OP:

$HO = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ см

$OP = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ см

Найдем разность длин отрезков OP и HO:

$OP - HO = 9 - 6 = 3$ см

Ответ: 3 см.

б)

В треугольнике ABC проведена биссектриса BK из вершины B к стороне AC. Согласно свойству биссектрисы, она делит сторону AC на отрезки AK и KC, пропорциональные прилежащим сторонам AB и BC:

$\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC}$

По условию задачи, соотношение сторон $AB : BC = 3 : 4$, следовательно:

$\frac{AK}{KC} = \frac{3}{4}$

Обозначим длины отрезков через переменную $x$. Пусть $AK = 3x$, тогда $KC = 4x$.

Точка K делит сторону AC, длина которой равна 14 см, на два отрезка. Значит, их сумма равна длине всей стороны:

$AK + KC = AC$

$3x + 4x = 14$

$7x = 14$

$x = \frac{14}{7} = 2$ см

Теперь вычислим длины отрезков AK и KC:

$AK = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см

$KC = 4x = 4 \cdot 2 = 8$ см

Найдем разность длин отрезков KC и AK:

$KC - AK = 8 - 6 = 2$ см

Ответ: 2 см.