Номер 7, страница 175 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7. a) В треугольнике ABC $ \angle A = 90^\circ, \angle B = 60^\circ, BC = 12 \text{ см}. $ Найдите проекцию катета AC на гипотенузу.

б) В треугольнике ABC $ \angle A = 90^\circ, \angle B = 30^\circ. $ Проекция катета AB на гипотенузу равна 15 см. Найдите гипотенузу треугольника.

а)

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle A = 90^\circ$. Известно, что $\angle B = 60^\circ$ и гипотенуза $BC = 12$ см.

1. Найдем третий угол треугольника. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

2. Проекция катета $AC$ на гипотенузу $BC$ — это отрезок $CH$, где $H$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$ на гипотенузу. Чтобы найти $CH$, мы можем сначала найти проекцию другого катета, $AB$, на гипотенузу, то есть отрезок $BH$.

3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ лежит напротив угла $\angle C = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы:

$AB = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

4. Согласно метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $AB$ это записывается как:

$AB^2 = BC \cdot BH$

Подставим известные значения и найдем длину $BH$:

$6^2 = 12 \cdot BH$

$36 = 12 \cdot BH$

$BH = \frac{36}{12} = 3$ см.

5. Гипотенуза $BC$ является суммой проекций катетов: $BC = BH + CH$. Отсюда мы можем найти искомую проекцию $CH$:

$CH = BC - BH = 12 - 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

б)

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle A = 90^\circ$ и углом $\angle B = 30^\circ$. Проекция катета $AB$ на гипотенузу равна 15 см.

1. Пусть $BC$ — гипотенуза треугольника. Проведем высоту $AH$ из вершины прямого угла $A$ на гипотенузу $BC$. Отрезок $BH$ является проекцией катета $AB$ на гипотенузу. По условию, $BH = 15$ см.

2. Используем метрическое соотношение для катета $AB$:

$AB^2 = BC \cdot BH$

Подставляя известное значение $BH$, получаем:

$AB^2 = BC \cdot 15$

3. В исходном прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ является прилежащим к углу $\angle B = 30^\circ$. Связь между катетом, гипотенузой и углом выражается через косинус:

$\cos(\angle B) = \frac{AB}{BC}$

Отсюда $AB = BC \cdot \cos(30^\circ)$. Поскольку $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$AB = BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

4. Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $AB$ из шага 3 в уравнение из шага 2:

$\left(BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = BC \cdot 15$

$BC^2 \cdot \frac{3}{4} = 15 \cdot BC$

5. Поскольку длина гипотенузы $BC$ не может быть равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $BC$:

$BC \cdot \frac{3}{4} = 15$

Теперь найдем $BC$:

$BC = 15 \cdot \frac{4}{3} = 5 \cdot 4 = 20$ см.

Ответ: 20 см.