Номер 5, страница 175 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5. a) Выберите наборы длин отрезков, которые не могут быть сторонами треугольника:

1) 4 см, 8 см, 9 см;

2) 12 см, 12 см, 25 см;

3) 7 см, 8 см, 15 см;

4) 3 см, $\sqrt{2}$ см, 2 см.

б) Выберите наборы длин отрезков, которые могут быть сторонами треугольника:

1) 1 см, $\sqrt{3}$ см, 2 см;

2) 10 см, 10 см, 19 см;

3) 6 см, 5 см, 11 см;

4) 3 см, 6 см, 2 см.

Для решения этой задачи используется правило, известное как неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника всегда должна быть строго больше длины третьей стороны. На практике, чтобы проверить, можно ли из трех отрезков составить треугольник, достаточно сложить длины двух самых коротких отрезков и сравнить их сумму с длиной самого длинного. Если сумма больше, треугольник существует. Если сумма меньше или равна, то треугольник не существует.

а) Выберите наборы длин отрезков, которые не могут быть сторонами треугольника:

В этом пункте мы ищем наборы, для которых неравенство треугольника не выполняется.

1) 4 см, 8 см, 9 см.
Самая длинная сторона 9 см. Проверяем сумму двух других: $4 + 8 = 12$. Так как $12 > 9$, неравенство выполняется. Треугольник с такими сторонами существует.

2) 12 см, 12 см, 25 см.
Самая длинная сторона 25 см. Проверяем сумму двух других: $12 + 12 = 24$. Так как $24$ не больше $25$, неравенство не выполняется. Такой треугольник не может существовать.

3) 7 см, 8 см, 15 см.
Самая длинная сторона 15 см. Проверяем сумму двух других: $7 + 8 = 15$. Так как сумма равна, а не строго больше ($15 \ngtr 15$), неравенство не выполняется. Такой треугольник не может существовать (это вырожденный случай, когда все три вершины лежат на одной прямой).

4) 3 см, $\sqrt{2}$ см, 2 см.
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.41$ см, самой длинной стороной является 3 см. Проверяем сумму двух других: $2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.41 = 3.41$. Так как $3.41 > 3$, неравенство выполняется. Треугольник с такими сторонами существует.

Ответ: Наборы, которые не могут быть сторонами треугольника: 2, 3.

б) Выберите наборы длин отрезков, которые могут быть сторонами треугольника:

В этом пункте мы ищем наборы, для которых неравенство треугольника выполняется.

1) 1 см, $\sqrt{3}$ см, 2 см.
Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.73$ см, самой длинной стороной является 2 см. Проверяем сумму двух других: $1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.73 = 2.73$. Так как $2.73 > 2$, неравенство выполняется. Такой треугольник может существовать.

2) 10 см, 10 см, 19 см.
Самая длинная сторона 19 см. Проверяем сумму двух других: $10 + 10 = 20$. Так как $20 > 19$, неравенство выполняется. Такой треугольник может существовать.

3) 6 см, 5 см, 11 см.
Самая длинная сторона 11 см. Проверяем сумму двух других: $6 + 5 = 11$. Так как сумма равна, а не строго больше, неравенство не выполняется. Такой треугольник не может существовать.

4) 3 см, 6 см, 2 см.
Самая длинная сторона 6 см. Проверяем сумму двух других: $2 + 3 = 5$. Так как $5$ не больше $6$, неравенство не выполняется. Такой треугольник не может существовать.

Ответ: Наборы, которые могут быть сторонами треугольника: 1, 2.