Номер 4, страница 174 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4. a) Докажите, что если на сторонах угла от вершины отложить отрезки равной длины и из полученных точек восстановить перпендикуляры к сторонам угла, то точка пересечения этих перпендикуляров будет принадлежать биссектрисе угла.

б) Докажите, что прямая, содержащая медиану треугольника, равноудалена от двух его вершин.

а)

Пусть дан угол с вершиной $O$. На его сторонах отложим от вершины равные отрезки $OA$ и $OB$. Таким образом, по условию $OA = OB$. Из точек $A$ и $B$ восстановим перпендикуляры к соответствующим сторонам угла. Пусть $AM \perp OA$ и $BM \perp OB$. Точка $M$ — точка пересечения этих перпендикуляров. Требуется доказать, что точка $M$ лежит на биссектрисе угла $\angle AOB$.

Для доказательства соединим точку $M$ с вершиной угла $O$ и рассмотрим два образовавшихся треугольника: $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$.

В этих треугольниках:

1. $\angle OAM = 90^\circ$ и $\angle OBM = 90^\circ$ по построению, так как $AM$ и $BM$ — перпендикуляры к сторонам $OA$ и $OB$ соответственно. Значит, $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ — прямоугольные.

2. Сторона $OM$ является общей гипотенузой для обоих треугольников.

3. Катеты $OA$ и $OB$ равны по условию задачи: $OA = OB$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников ($\triangle OAM \cong \triangle OBM$) следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $\angle AOM$ равен углу $\angle BOM$.

По определению, луч, делящий угол на два равных угла, является его биссектрисой. Значит, луч $OM$ — биссектриса угла $\angle AOB$. Таким образом, точка $M$ принадлежит биссектрисе этого угла.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Пусть в треугольнике $\triangle ABC$ проведена медиана $AM$ к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BM = MC$.

Прямая, содержащая медиану, — это прямая $AM$. Нам нужно доказать, что вершины $B$ и $C$ равноудалены от этой прямой. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Опустим из вершин $B$ и $C$ перпендикуляры на прямую $AM$. Обозначим их основания как $H$ и $K$ соответственно. Таким образом, $BH \perp AM$ и $CK \perp AM$. Нам необходимо доказать, что длины этих перпендикуляров равны, то есть $BH = CK$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BHM$ и $\triangle CKM$.

В этих треугольниках:

1. $\angle BHM = 90^\circ$ и $\angle CKM = 90^\circ$ по построению, так как $BH$ и $CK$ — перпендикуляры. Следовательно, $\triangle BHM$ и $\triangle CKM$ — прямоугольные.

2. Гипотенузы $BM$ и $CM$ равны, так как $AM$ — медиана ($BM = CM$).

3. Углы $\angle BMH$ и $\angle CMK$ равны как вертикальные углы, образованные пересечением прямых $BC$ и $AM$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle BHM$ и $\triangle CKM$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу).

Из равенства треугольников ($\triangle BHM \cong \triangle CKM$) следует равенство их соответствующих сторон. В частности, катет $BH$ равен катету $CK$: $BH = CK$.

Длины отрезков $BH$ и $CK$ представляют собой расстояния от вершин $B$ и $C$ до прямой $AM$. Поскольку $BH = CK$, то прямая, содержащая медиану, равноудалена от двух других вершин треугольника.

Ответ: Утверждение доказано.