Номер 16.19, страница 173 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.19. В полукруг радиусом 8 см вписана окружность, которая касается диаметра $BP$ в точке $K$, причем $BK : KP = 1 : 3$. Найдите длину вписанной окружности.

Пусть $R$ — радиус полукруга, а $r$ — радиус вписанной окружности. По условию, $R = 8$ см. Диаметр полукруга $BP$ равен $2R$, то есть $BP = 2 \times 8 = 16$ см.

Вписанная окружность касается диаметра $BP$ в точке $K$. По условию, точка $K$ делит диаметр в отношении $BK : KP = 1 : 3$. Пусть $BK = x$, тогда $KP = 3x$.

Сумма длин отрезков $BK$ и $KP$ равна длине диаметра $BP$:

$BK + KP = BP$

$x + 3x = 16$

$4x = 16$

$x = 4$ см.

Таким образом, длина отрезка $BK = 4$ см.

Пусть $O$ — центр полукруга (и середина диаметра $BP$), а $O_1$ — центр вписанной окружности. Так как $O$ — середина $BP$, то $BO = OP = R = 8$ см.

Найдем расстояние от центра полукруга $O$ до точки касания $K$ на диаметре. Это расстояние равно $OK = BO - BK = 8 - 4 = 4$ см.

Радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания $K$, перпендикулярен диаметру $BP$. Следовательно, отрезок $O_1K$ является катетом прямоугольного треугольника $\triangle OKO_1$, и его длина равна $O_1K = r$.

Вписанная окружность также касается дуги полукруга. Пусть точка касания — $M$. Точки $O$, $O_1$ и $M$ лежат на одной прямой. Расстояние между центрами $O$ и $O_1$ равно разности радиуса полукруга $R$ и радиуса вписанной окружности $r$. Этот отрезок $OO_1$ является гипотенузой в треугольнике $\triangle OKO_1$.

$OO_1 = R - r = 8 - r$.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle OKO_1$ с катетами $OK$ и $O_1K$ и гипотенузой $OO_1$:

$OO_1^2 = OK^2 + O_1K^2$

Подставим известные значения:

$(8 - r)^2 = 4^2 + r^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $r$:

$64 - 16r + r^2 = 16 + r^2$

$64 - 16r = 16$

$16r = 64 - 16$

$16r = 48$

$r = \frac{48}{16} = 3$ см.

Мы нашли радиус вписанной окружности. Теперь найдем ее длину (длину окружности) по формуле $C = 2 \pi r$:

$C = 2 \pi \cdot 3 = 6\pi$ см.

Ответ: $6\pi$ см.