Номер 16.13, страница 172 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.13. a) Радиусы двух концентрических окружностей равны 4 и 6. Найдите отношение площади кольца к площади круга, ограниченного меньшей окружностью.

б) Радиусы двух концентрических окружностей равны $\sqrt{5}$ и 5. Найдите отношение площади кольца к площади круга, ограниченного большей окружностью.

а)

Пусть радиусы двух концентрических окружностей равны $R$ и $r$, где $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей. По условию, $R = 6$ и $r = 4$.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$.

Площадь круга, ограниченного меньшей окружностью ($S_{малого}$), равна:
$S_{малого} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$.

Площадь кольца ($S_{кольца}$) равна разности площадей кругов, ограниченных большей и меньшей окружностями:
$S_{кольца} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (6^2 - 4^2) = \pi (36 - 16) = 20\pi$.

Найдем отношение площади кольца к площади круга, ограниченного меньшей окружностью:
$\frac{S_{кольца}}{S_{малого}} = \frac{20\pi}{16\pi} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

б)

Пусть радиусы двух концентрических окружностей равны $R$ и $r$, где $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей. По условию, $R = 5$ и $r = \sqrt{5}$.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$.

Площадь круга, ограниченного большей окружностью ($S_{большого}$), равна:
$S_{большого} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$.

Площадь кольца ($S_{кольца}$) равна разности площадей кругов, ограниченных большей и меньшей окружностями:
$S_{кольца} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (5^2 - (\sqrt{5})^2) = \pi (25 - 5) = 20\pi$.

Найдем отношение площади кольца к площади круга, ограниченного большей окружностью:
$\frac{S_{кольца}}{S_{большого}} = \frac{20\pi}{25\pi} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.