Номер 16.11, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.11. a) В окружность вписан квадрат, в него вписана окружность, в которую вписан правильный треугольник со стороной $\sqrt{3}$ см. Найдите площадь части круга, ограниченного большей из окружностей, находящейся вне квадрата.

б) В окружность радиусом 2 см вписан правильный треугольник, в него вписана окружность, в которую вписан квадрат. Найдите площадь части круга, ограниченного меньшей окружностью, находящейся вне квадрата.

а)

Обозначим радиус большей окружности как $R$, радиус меньшей окружности как $r$, сторону квадрата как $a_{кв}$, а сторону правильного треугольника как $a_{тр}$.

По условию, в меньшую окружность вписан правильный треугольник со стороной $a_{тр} = \sqrt{3}$ см. Радиус описанной около правильного треугольника окружности ($r$) связан с его стороной ($a_{тр}$) формулой $a_{тр} = r\sqrt{3}$.

1. Найдем радиус меньшей окружности $r$:
$r = \frac{a_{тр}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$ см.

2. Меньшая окружность вписана в квадрат. Это означает, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата $a_{кв}$.
$a_{кв} = 2r = 2 \cdot 1 = 2$ см.

3. Квадрат вписан в большую окружность. Диагональ квадрата $d_{кв}$ является диаметром большей окружности. Диагональ квадрата находим по формуле $d_{кв} = a_{кв}\sqrt{2}$.
$d_{кв} = 2\sqrt{2}$ см.
Радиус большей окружности $R$ равен половине диагонали:
$R = \frac{d_{кв}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

4. Нам нужно найти площадь части круга, ограниченного большей из окружностей, находящейся вне квадрата. Это разность между площадью большого круга ($S_{круга}$) и площадью вписанного в него квадрата ($S_{кв}$).
Площадь большого круга: $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$ см².
Площадь квадрата: $S_{кв} = a_{кв}^2 = 2^2 = 4$ см².
Искомая площадь: $S = S_{круга} - S_{кв} = 2\pi - 4$ см².

Ответ: $(2\pi - 4)$ см².

б)

Обозначим радиус большей (внешней) окружности как $R_{внеш}$, радиус меньшей (внутренней) окружности как $r_{внутр}$, сторону правильного треугольника как $a_{тр}$, а сторону квадрата как $a_{кв}$.

По условию, радиус внешней окружности $R_{внеш} = 2$ см. В эту окружность вписан правильный треугольник.

1. Внешняя окружность является описанной для правильного треугольника. Меньшая окружность вписана в этот же треугольник. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $r_{внутр}$ в два раза меньше радиуса описанной окружности $R_{внеш}$.
$r_{внутр} = \frac{R_{внеш}}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

2. В меньшую окружность (с радиусом $r_{внутр} = 1$ см) вписан квадрат. Диагональ этого квадрата $d_{кв}$ является диаметром меньшей окружности.
$d_{кв} = 2r_{внутр} = 2 \cdot 1 = 2$ см.

3. Найдем сторону квадрата $a_{кв}$ через его диагональ: $d_{кв} = a_{кв}\sqrt{2}$.
$a_{кв} = \frac{d_{кв}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ см.

4. Нам нужно найти площадь части круга, ограниченного меньшей окружностью, находящейся вне квадрата. Это разность между площадью малого круга ($S_{круга}$) и площадью вписанного в него квадрата ($S_{кв}$).
Площадь малого круга: $S_{круга} = \pi r_{внутр}^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².
Площадь квадрата: $S_{кв} = a_{кв}^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$ см².
Искомая площадь: $S = S_{круга} - S_{кв} = \pi - 2$ см².

Ответ: $(\pi - 2)$ см².