Номер 10, страница 176 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10. a) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 16 и 18. Найдите гипотенузу треугольника.
б) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 25 и 18. Найдите периметр данного треугольника.

а)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. Медиана $m_c$, проведённая к гипотенузе, делит её на два отрезка длиной $\frac{c}{2}$. Важным свойством прямоугольного треугольника является то, что медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине: $m_c = \frac{c}{2}$.

Медиана разбивает исходный треугольник на два других треугольника. Периметр первого из них, со сторонами $a$, $m_c$ и $\frac{c}{2}$, равен $P_1 = a + m_c + \frac{c}{2}$. Подставив $m_c = \frac{c}{2}$, получаем $P_1 = a + \frac{c}{2} + \frac{c}{2} = a+c$. Аналогично, периметр второго треугольника (со сторонами $b$, $m_c$ и $\frac{c}{2}$) равен $P_2 = b+c$.

По условию, периметры этих треугольников равны 16 и 18. Получаем систему уравнений: $\begin{cases} a + c = 16 \\ b + c = 18 \end{cases}$.

Из этой системы выразим катеты через гипотенузу: $a = 16 - c$ и $b = 18 - c$.

Согласно теореме Пифагора, $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим в неё выражения для $a$ и $b$:

$(16 - c)^2 + (18 - c)^2 = c^2$

Раскроем скобки и упростим: $(256 - 32c + c^2) + (324 - 36c + c^2) = c^2$, что приводит к квадратному уравнению $c^2 - 68c + 580 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 580 = 4624 - 2320 = 2304$, корень из дискриминанта $\sqrt{D} = 48$.

Корни уравнения: $c_1 = \frac{68 - 48}{2} = 10$ и $c_2 = \frac{68 + 48}{2} = 58$.

Длины катетов должны быть положительными, поэтому $a = 16 - c > 0 \implies c < 16$. Этому условию удовлетворяет только корень $c_1 = 10$. Корень $c_2=58$ является посторонним.

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 10.

Ответ: 10

б)

Аналогично пункту а), периметры двух треугольников, образованных медианой к гипотенузе, выражаются как $P_1 = a+c$ и $P_2 = b+c$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

По условию, периметры равны 18 и 25. Получаем систему: $\begin{cases} a + c = 18 \\ b + c = 25 \end{cases}$.

Выразим катеты: $a = 18 - c$ и $b = 25 - c$.

Подставим эти выражения в теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$(18 - c)^2 + (25 - c)^2 = c^2$

$(324 - 36c + c^2) + (625 - 50c + c^2) = c^2$

После упрощения получаем квадратное уравнение: $c^2 - 86c + 949 = 0$.

Решим уравнение. Дискриминант $D = (-86)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 949 = 7396 - 3796 = 3600$, корень из дискриминанта $\sqrt{D} = 60$.

Корни уравнения: $c_1 = \frac{86 - 60}{2} = 13$ и $c_2 = \frac{86 + 60}{2} = 73$.

Так как длины катетов должны быть положительными, $a = 18 - c > 0 \implies c < 18$. Этому условию удовлетворяет только корень $c_1 = 13$.

Итак, гипотенуза $c=13$. Найдём катеты: $a = 18 - 13 = 5$ и $b = 25 - 13 = 12$.

Периметр исходного треугольника равен $P = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30$.

Ответ: 30