Номер 18, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18. а) В треугольнике ABC $BC = 6 \text{ см}$, $\cos\angle C = \frac{4}{9}$, $\sin\angle A = \frac{\sqrt{65}}{12}$.

Найдите длину стороны AB.

б) В треугольнике ABC $AB = 4 \text{ см}$, $\cos\angle A = \frac{3}{8}$, $\sin\angle C = \frac{\sqrt{55}}{10}$.

Найдите длину стороны BC.

а)

Для нахождения длины стороны $AB$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся расширенной теоремой синусов. Она утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла является величиной постоянной для всех сторон данного треугольника.

Формула теоремы синусов для треугольника $ABC$ выглядит следующим образом: $ \frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AC}{\sin \angle B} = \frac{AB}{\sin \angle C} $

Нам даны: $BC = 6$ см, $\cos \angle C = \frac{4}{9}$ и $\sin \angle A = \frac{\sqrt{65}}{12}$. Требуется найти $AB$.

Из теоремы синусов мы можем составить пропорцию, связывающую известные и искомую величины: $ \frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{BC}{\sin \angle A} $

Для решения нам необходимо найти значение $\sin \angle C$. Мы можем вычислить его, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Поскольку угол $C$ является углом треугольника, его синус всегда положителен ($\sin \angle C > 0$).

$ \sin \angle C = \sqrt{1 - \cos^2 \angle C} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{9}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{81}} = \sqrt{\frac{81 - 16}{81}} = \sqrt{\frac{65}{81}} = \frac{\sqrt{65}}{9} $

Теперь мы можем выразить $AB$ из пропорции и подставить в нее все известные значения: $ AB = \frac{BC \cdot \sin \angle C}{\sin \angle A} $

$ AB = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{65}}{9}}{\frac{\sqrt{65}}{12}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{65}}{9} \cdot \frac{12}{\sqrt{65}} $

Сокращаем дробь на $\sqrt{65}$: $ AB = 6 \cdot \frac{12}{9} = \frac{72}{9} = 8 $ см.

Ответ: 8 см.

б)

Для решения этого пункта также воспользуемся теоремой синусов: $ \frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AB}{\sin \angle C} $

Нам даны: $AB = 4$ см, $\cos \angle A = \frac{3}{8}$ и $\sin \angle C = \frac{\sqrt{55}}{10}$. Требуется найти $BC$.

Сначала найдем $\sin \angle A$, зная $\cos \angle A$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Синус угла треугольника положителен.

$ \sin \angle A = \sqrt{1 - \cos^2 \angle A} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{8}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{64}} = \sqrt{\frac{64 - 9}{64}} = \sqrt{\frac{55}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8} $

Теперь выразим искомую сторону $BC$ из пропорции теоремы синусов: $ BC = \frac{AB \cdot \sin \angle A}{\sin \angle C} $

Подставим известные значения в полученную формулу: $ BC = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{55}}{8}}{\frac{\sqrt{55}}{10}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{55}}{8} \cdot \frac{10}{\sqrt{55}} $

Сокращаем дробь на $\sqrt{55}$: $ BC = 4 \cdot \frac{10}{8} = \frac{40}{8} = 5 $ см.

Ответ: 5 см.