Номер 27, страница 180 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27. a) В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC — точка K так, что $AM = \frac{2}{5}AC$, $BK = \frac{1}{3}BC$. Отрезки BM и AK пересекаются в точке O. Найдите отношение $AO : OK$.

б) В треугольнике ABC на стороне AB взята точка T, а на стороне BC — точка P так, что $AT = 4BT$, $5PC = 3BP$. Отрезки AP и CT пересекаются в точке O. Найдите отношение $CO : OT$.

а) Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Менелая. Рассмотрим треугольник $AKC$ и секущую $BM$ (точки $B, O, M$ лежат на одной прямой). По теореме Менелая для треугольника $AKC$ и прямой $BOM$ справедливо соотношение:
$$ \frac{AM}{MC} \cdot \frac{CB}{BK} \cdot \frac{KO}{OA} = 1 $$
Найдем значения каждого отношения из условия задачи.
1. Из условия $AM = \frac{2}{5}AC$, следует, что $MC = AC - AM = AC - \frac{2}{5}AC = \frac{3}{5}AC$. Тогда отношение:$$ \frac{AM}{MC} = \frac{\frac{2}{5}AC}{\frac{3}{5}AC} = \frac{2}{3} $$
2. Из условия $BK = \frac{1}{3}BC$, следует, что $BC = 3BK$. Тогда отношение:$$ \frac{CB}{BK} = \frac{BC}{BK} = 3 $$
3. Подставим найденные отношения в формулу теоремы Менелая:$$ \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \frac{KO}{OA} = 1 $$$$ 2 \cdot \frac{KO}{OA} = 1 $$$$ \frac{KO}{OA} = \frac{1}{2} $$
Отсюда находим искомое отношение $AO : OK$:$$ \frac{AO}{OK} = \frac{2}{1} = 2 $$
Ответ: $AO : OK = 2 : 1$.

б) Эту задачу также решим с помощью теоремы Менелая. Рассмотрим треугольник $CBT$ и секущую $AP$ (точки $A, O, P$ лежат на одной прямой). По теореме Менелая для треугольника $CBT$ и прямой $AOP$ справедливо соотношение:
$$ \frac{CP}{PB} \cdot \frac{BA}{AT} \cdot \frac{TO}{OC} = 1 $$
Найдем значения каждого отношения из условия задачи.
1. Из условия $5PC = 3BP$, получаем отношение:$$ \frac{CP}{PB} = \frac{3}{5} $$
2. Из условия $AT = 4BT$, выразим сторону $AB$: $AB = AT + BT = 4BT + BT = 5BT$. Тогда отношение:$$ \frac{BA}{AT} = \frac{5BT}{4BT} = \frac{5}{4} $$
3. Подставим найденные отношения в формулу теоремы Менелая:$$ \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{TO}{OC} = 1 $$$$ \frac{3}{4} \cdot \frac{TO}{OC} = 1 $$$$ \frac{TO}{OC} = \frac{4}{3} $$
Отсюда находим искомое отношение $CO : OT$:$$ \frac{CO}{OT} = \frac{3}{4} $$
Ответ: $CO : OT = 3 : 4$.