Номер 35, страница 182 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

35. a) В параллелограмме $ABCK$ $AB = 6$ см, $BM$ — биссектриса угла $B$, причем точка $M$ делит сторону $AK$ в отношении $2 : 1$, считая от точки $A$. Найдите периметр параллелограмма.

б) В параллелограмме $EKOP$ $EP = 12$ см, $EA$ — биссектриса угла $E$, причем точка $A$ лежит на стороне $OK$ и $KA$ больше $AO$ на 2 см. Найдите периметр параллелограмма.

а)

В параллелограмме $ABCK$ противоположные стороны параллельны, следовательно, $BC \parallel AK$. Прямая $BM$ является секущей для этих параллельных прямых. Таким образом, накрест лежащие углы $\angle CBM$ и $\angle AMB$ равны.

По условию, $BM$ — биссектриса угла $B$, поэтому она делит этот угол пополам: $\angle ABM = \angle CBM$.

Из двух равенств ($\angle CBM = \angle AMB$ и $\angle ABM = \angle CBM$) следует, что $\angle ABM = \angle AMB$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как два его угла ($\angle ABM$ и $\angle AMB$) равны, то он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Значит, $AB = AM$.

Из условия известно, что $AB = 6$ см. Следовательно, $AM = 6$ см.

Также по условию точка $M$ делит сторону $AK$ в отношении $2:1$, считая от точки $A$. Это можно записать в виде пропорции: $AM : MK = 2 : 1$.

Подставим известное значение $AM = 6$ см в пропорцию: $6 : MK = 2 : 1$. Отсюда находим длину отрезка $MK$: $MK = \frac{6 \cdot 1}{2} = 3$ см.

Длина стороны $AK$ равна сумме длин ее частей: $AK = AM + MK = 6 \text{ см} + 3 \text{ см} = 9$ см.

Периметр параллелограмма $P$ находится по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон. Для параллелограмма $ABCK$ смежными сторонами являются $AB$ и $AK$.

$P_{ABCK} = 2(AB + AK) = 2(6 + 9) = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Ответ: 30 см.

б)

В параллелограмме $EKOP$ противоположные стороны параллельны, следовательно, $EP \parallel OK$. Прямая $EA$ является секущей для этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы $\angle PEA$ и $\angle EAK$ равны.

По условию, $EA$ — биссектриса угла $E$, что означает, что $\angle KEA = \angle PEA$.

Из равенств $\angle PEA = \angle EAK$ и $\angle KEA = \angle PEA$ следует, что $\angle KEA = \angle EAK$.

Рассмотрим треугольник $EKA$. Так как два его угла равны, он является равнобедренным, и стороны, противолежащие этим углам, также равны: $EK = KA$.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, значит, $OK = EP = 12$ см. Точка $A$ лежит на стороне $OK$, поэтому длина стороны $OK$ равна сумме длин отрезков $OA$ и $KA$: $OK = OA + KA$.

По условию, $KA$ больше $AO$ на 2 см, что можно записать как $KA = AO + 2$.

Подставим это выражение в формулу для $OK$: $OK = AO + (AO + 2) = 2 \cdot AO + 2$.

Так как $OK = 12$ см, получим уравнение: $12 = 2 \cdot AO + 2$.

Решим уравнение относительно $AO$: $2 \cdot AO = 12 - 2$ $2 \cdot AO = 10$ $AO = 5$ см.

Теперь найдем длину $KA$: $KA = AO + 2 = 5 + 2 = 7$ см.

Так как $EK = KA$, то $EK = 7$ см.

Мы нашли длины смежных сторон параллелограмма $EKOP$: $EK = 7$ см и $EP = 12$ см.

Вычислим периметр параллелограмма: $P_{EKOP} = 2(EK + EP) = 2(7 + 12) = 2 \cdot 19 = 38$ см.

Ответ: 38 см.