Номер 39, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

39. a) В параллелограмме $ABCD$ угол $CAD$ равен $30^\circ$, вершина $B$ удалена от диагонали $AC$ на 3 см, а от стороны $AD$ — на 7 см. Найдите площадь параллелограмма.

б) В параллелограмме $ABCD$ угол $CAD$ равен $45^\circ$, вершина $B$ удалена от диагонали $AC$ на 2 см, а от стороны $AD$ — на $2\sqrt{2}$ см. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть $h_{AD}$ — высота параллелограмма $ABCD$, проведенная к стороне $AD$. Расстояние от вершины $B$ до стороны $AD$ по определению и есть эта высота. Следовательно, $h_{AD} = 7$ см.

Поскольку стороны $AD$ и $BC$ параллельны, высота, опущенная из любой точки прямой $BC$ на прямую $AD$, будет одинаковой. Таким образом, высота треугольника $ACD$, опущенная из вершины $C$ на сторону $AD$, также равна $h_{AD} = 7$ см. Обозначим эту высоту как $CH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (где $H$ — основание высоты $CH$ на прямой $AD$). В этом треугольнике нам известен катет $CH = 7$ см и противолежащий ему угол $\angle CAD = 30^\circ$. Мы можем найти длину гипотенузы $AC$: $AC = \frac{CH}{\sin(\angle CAD)} = \frac{7}{\sin(30^\circ)}$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то длина диагонали $AC$ равна: $AC = \frac{7}{1/2} = 14$ см.

Площадь параллелограмма $ABCD$ можно найти как удвоенную площадь треугольника $ABC$. Площадь треугольника $ABC$, в свою очередь, можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания возьмем диагональ $AC$, а в качестве высоты — данное в условии расстояние от вершины $B$ до диагонали $AC$, которое равно 3 см. Обозначим эту высоту как $h_B$.

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B\right) = AC \cdot h_B$.

Подставим известные значения: $S_{ABCD} = 14 \cdot 3 = 42$ см$^2$.

Ответ: $42$ см$^2$.

Решение аналогично предыдущему пункту. Пусть $h_{AD}$ — высота параллелограмма, проведенная к стороне $AD$. По условию, расстояние от вершины $B$ до стороны $AD$ равно $2\sqrt{2}$ см, значит $h_{AD} = 2\sqrt{2}$ см.

Высота треугольника $ACD$, опущенная из вершины $C$ на сторону $AD$, также равна $h_{AD} = 2\sqrt{2}$ см. Обозначим ее $CH$.

В прямоугольном треугольнике $AHC$ нам известен катет $CH = 2\sqrt{2}$ см и противолежащий ему угол $\angle CAD = 45^\circ$. Найдем длину гипотенузы $AC$: $AC = \frac{CH}{\sin(\angle CAD)} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)}$

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то: $AC = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 4$ см.

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S_{ABCD} = AC \cdot h_B$, где $h_B$ — расстояние от вершины $B$ до диагонали $AC$. По условию $h_B = 2$ см.

Подставим известные значения: $S_{ABCD} = 4 \cdot 2 = 8$ см$^2$.

Ответ: $8$ см$^2$.