Номер 31, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

31. Формула, связывающая диагонали параллелограмма и его стороны

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Найдите длины диагоналей параллелограмма, если известно, что они относятся как 2 : 3, а стороны параллелограмма равны 11 см и 23 см.

Для решения задачи воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Эта зависимость выражается формулой: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали, а $a$ и $b$ — стороны параллелограмма.

По условию задачи, стороны параллелограмма равны $a = 11$ см и $b = 23$ см.

Отношение длин диагоналей составляет $2:3$. Обозначим длины диагоналей через коэффициент пропорциональности $x$. Тогда первая диагональ $d_1 = 2x$, а вторая диагональ $d_2 = 3x$.

Подставим известные значения и выражения для диагоналей в формулу:

$(2x)^2 + (3x)^2 = 2(11^2 + 23^2)$

Теперь выполним вычисления. Сначала возведем в квадрат выражения в левой части и числа в правой части:

$4x^2 + 9x^2 = 2(121 + 529)$

Упростим обе части уравнения:

$13x^2 = 2(650)$

$13x^2 = 1300$

Найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{1300}{13}$

$x^2 = 100$

Найдем значение $x$, извлекая квадратный корень. Так как длина отрезка не может быть отрицательной, мы рассматриваем только положительное значение корня:

$x = \sqrt{100} = 10$

Теперь, зная коэффициент $x$, мы можем найти длины диагоналей:

$d_1 = 2x = 2 \cdot 10 = 20$ см

$d_2 = 3x = 3 \cdot 10 = 30$ см

Ответ: длины диагоналей параллелограмма равны 20 см и 30 см.