Номер 34, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

34. Формулы площади ромба

$S = ah;$

$S = \frac{d_1d_2}{2};$

$S = pr;$

$S = a^2 \sin \alpha.$

Большая диагональ ромба равна 40, а меньшая диагональ относится к стороне как 6 : 5. Найдите высоту ромба.

Обозначим большую диагональ ромба как $d_1$, меньшую диагональ как $d_2$, сторону как $a$, и высоту как $h$.

Согласно условию задачи, большая диагональ $d_1 = 40$.

Отношение меньшей диагонали к стороне составляет $6 : 5$, что можно записать как $\frac{d_2}{a} = \frac{6}{5}$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $d_2 = 6x$ и $a = 5x$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, образованных половинками диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$, а гипотенуза равна стороне ромба $a$.

Применим к этому треугольнику теорему Пифагора: $(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$.

Подставим известные значения и выражения через $x$:
$\frac{d_1}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$\frac{d_2}{2} = \frac{6x}{2} = 3x$
$a = 5x$

Получаем уравнение:
$20^2 + (3x)^2 = (5x)^2$
$400 + 9x^2 = 25x^2$
$16x^2 = 400$
$x^2 = \frac{400}{16} = 25$
$x = 5$ (длина не может быть отрицательной)

Теперь найдем длину стороны $a$ и меньшей диагонали $d_2$:
Сторона $a = 5x = 5 \cdot 5 = 25$.
Меньшая диагональ $d_2 = 6x = 6 \cdot 5 = 30$.

Площадь ромба можно вычислить по двум формулам: через сторону и высоту ($S = ah$) и через диагонали ($S = \frac{d_1d_2}{2}$). Приравняем эти два выражения, чтобы найти высоту $h$:
$ah = \frac{d_1d_2}{2}$

Выразим высоту и подставим численные значения:
$h = \frac{d_1d_2}{2a} = \frac{40 \cdot 30}{2 \cdot 25} = \frac{1200}{50} = 24$.

Ответ: 24