Номер 33, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

33. Свойства и признак ромба

Признак ромба. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

У ромба:

1) все стороны равны;

2) противоположные стороны параллельны;

3) противоположные углы равны;

4) сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$;

5) диагонали являются биссектрисами его углов;

6) диагонали взаимно перпендикулярны;

7) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

8) диагонали делят его на четыре равных прямоугольных треугольника.

Диагональ ромба разбивает его на два треугольника. Найдите длину диагонали, если известно, что сумма периметров обоих треугольников на 15 см больше периметра ромба.

Пусть сторона ромба равна $a$, а длина диагонали, которая делит ромб на два треугольника, равна $d$.

Периметр ромба ($P_{ромба}$) — это сумма длин всех его четырех сторон. Поскольку у ромба все стороны равны, его периметр вычисляется по формуле:

$P_{ромба} = a + a + a + a = 4a$

Указанная диагональ делит ромб на два равных (конгруэнтных) треугольника. Сторонами каждого из этих треугольников являются две стороны ромба ($a$) и сама диагональ ($d$).

Следовательно, периметр одного такого треугольника ($P_{тр}$) равен:

$P_{тр} = a + a + d = 2a + d$

Сумма периметров двух этих треугольников ($P_{сумма}$) будет равна удвоенному периметру одного треугольника:

$P_{сумма} = (2a + d) + (2a + d) = 4a + 2d$

По условию задачи, сумма периметров двух треугольников на 15 см больше периметра ромба. Запишем это соотношение в виде уравнения:

$P_{сумма} = P_{ромба} + 15$

Теперь подставим в это уравнение полученные ранее выражения для $P_{сумма}$ и $P_{ромба}$:

$4a + 2d = 4a + 15$

Для нахождения длины диагонали $d$ решим это уравнение. Вычтем из обеих частей уравнения $4a$:

$2d = 15$

Разделим обе части уравнения на 2:

$d = \frac{15}{2} = 7.5$

Таким образом, длина диагонали ромба составляет 7,5 см.

Ответ: 7,5 см.