Номер 30, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

30. Признаки и свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма. Если в четырехугольнике:

- диагонали точкой пересечения делятся пополам;

- противоположные стороны попарно равны;

- две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

У параллелограмма:

1) противоположные стороны равны;

2) противоположные стороны параллельны;

3) противоположные углы равны;

4) сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$;

5) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

6) диагонали делят его на четыре равновеликих треугольника.

a) Два угла параллелограмма относятся как $5 : 7$. Найдите больший угол параллелограмма.

б) Периметр параллелограмма равен 96 см. Найдите стороны параллелограмма, если известно, что одна из них составляет $140\%$ второй.

а)

В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

Так как данные в условии углы не равны (их отношение $5:7$, а не $1:1$), они не могут быть противолежащими. Следовательно, эти углы являются прилежащими к одной стороне, и их сумма равна $180^\circ$.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда один угол равен $5x$, а второй – $7x$.

Составим и решим уравнение:

$5x + 7x = 180$

$12x = 180$

$x = 180 / 12$

$x = 15$

Теперь найдем величины углов:

Меньший угол: $5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$

Больший угол: $7 \cdot 15^\circ = 105^\circ$

Больший угол параллелограмма равен $105^\circ$.

Ответ: $105^\circ$

б)

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – смежные стороны.

Пусть длина второй (меньшей) стороны равна $x$ см. Тогда первая сторона, которая составляет 140% от второй, будет равна $1.4x$ см (поскольку $140\% = 1.4$).

Подставим известные значения в формулу периметра:

$P = 2(1.4x + x) = 96$

Решим полученное уравнение:

$2(2.4x) = 96$

$4.8x = 96$

$x = 96 / 4.8$

$x = 20$

Итак, одна сторона равна 20 см. Найдем вторую сторону:

$1.4 \cdot 20 = 28$ см.

Таким образом, стороны параллелограмма равны 20 см и 28 см. (В параллелограмме две пары равных сторон, то есть две стороны по 20 см и две стороны по 28 см).

Ответ: 20 см, 28 см, 20 см, 28 см.