Номер 35, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

35. Свойства и признак прямоугольника

Признак прямоугольника.

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

У прямоугольника:

1) противоположные стороны равны;

2) противоположные стороны параллельны;

3) все углы прямые;

4) диагонали равны;

5) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

6) диагонали делят его на четыре равновеликих треугольника.

В прямоугольнике ABCD AD = $4\sqrt{5}$ см, вершина A удалена от диагонали BD на 8 см. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Из условия задачи известны длина стороны $AD = 4\sqrt{5}$ см и расстояние от вершины A до диагонали BD. Это расстояние является длиной высоты AH, опущенной из вершины A на гипотенузу BD в прямоугольном треугольнике ABD. Таким образом, $AH = 8$ см.

Площадь прямоугольника $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле $S_{ABCD} = AB \cdot AD$. Нам необходимо найти длину стороны AB.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHD, где $\angle AHD = 90^\circ$. Катеты этого треугольника - AH и DH, а гипотенуза - AD. По теореме Пифагора найдем длину отрезка DH:
$AD^2 = AH^2 + DH^2$
$(4\sqrt{5})^2 = 8^2 + DH^2$
$16 \cdot 5 = 64 + DH^2$
$80 = 64 + DH^2$
$DH^2 = 80 - 64 = 16$
$DH = \sqrt{16} = 4$ см.

2. В прямоугольном треугольнике ABD (где $\angle A = 90^\circ$) высота AH, проведенная к гипотенузе BD, делит ее на отрезки DH и BH. Существует метрическое соотношение, связывающее катет, его проекцию на гипотенузу и саму гипотенузу: $AD^2 = DH \cdot BD$. Используем это соотношение для нахождения длины диагонали BD.
$(4\sqrt{5})^2 = 4 \cdot BD$
$80 = 4 \cdot BD$
$BD = \frac{80}{4} = 20$ см.

3. Теперь, зная длины гипотенузы BD и катета AD в прямоугольном треугольнике ABD, мы можем найти длину второго катета AB, используя теорему Пифагора:
$BD^2 = AB^2 + AD^2$
$20^2 = AB^2 + (4\sqrt{5})^2$
$400 = AB^2 + 80$
$AB^2 = 400 - 80 = 320$
$AB = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$ см.

4. Наконец, вычислим площадь прямоугольника ABCD:
$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 8\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = (8 \cdot 4) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) = 32 \cdot 5 = 160$ см².

Ответ: 160 см².