Номер 40, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

40. Свойства равнобедренной трапеции

У равнобедренной трапеции:

1) углы при основании равны;

2) диагонали равны;

3) высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, равные полусумме оснований и полуразности оснований.

Основание $AD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ в 5 раз больше основания $BC$. Высота $BH$ пересекает диагональ $AC$ в точке $M$, площадь треугольника $AMH$ равна $4\,см^2$. Найдите площадь трапеции $ABCD$.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD || BC$. Высота $BH$ перпендикулярна основанию $AD$ ($BH \perp AD$). Диагональ $AC$ пересекает высоту $BH$ в точке $M$.

По условию задачи, основание $AD$ в 5 раз больше основания $BC$. Обозначим длину $BC$ как $x$, тогда длина $AD$ будет $5x$.

$BC = x$, $AD = 5x$.

В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла к большему основанию, делит его на два отрезка. Длина отрезка $AH$, прилежащего к боковой стороне, вычисляется по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим значения длин оснований:

$AH = \frac{5x - x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMH$ и $\triangle CMB$.

1. Так как основания трапеции параллельны ($BC || AD$), то накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BCA = \angle CAD$. Следовательно, $\angle MCB = \angle MAH$.

2. Углы $\angle CMB$ и $\angle AMH$ равны как вертикальные.

По двум равным углам треугольники $\triangle CMB$ и $\triangle AMH$ подобны ($\triangle CMB \sim \triangle AMH$).

Коэффициент подобия $k$ равен отношению их соответственных сторон. Найдем отношение сторон $AH$ и $BC$, которые являются соответственными в наших подобных треугольниках:

$k = \frac{AH}{BC} = \frac{2x}{x} = 2$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{AMH}}{S_{CMB}} = k^2 = 2^2 = 4$.

По условию площадь треугольника $AMH$ равна 4 см². Найдем площадь треугольника $CMB$:

$S_{CMB} = \frac{S_{AMH}}{4} = \frac{4}{4} = 1$ см².

Так как $\triangle CMB \sim \triangle AMH$, отношение их соответственных сторон $MH$ и $BM$ также равно коэффициенту подобия $k=2$:

$\frac{MH}{BM} = k = 2$, откуда $MH = 2 \cdot BM$.

Пусть высота трапеции $BH = h$. Тогда $h = BH = BM + MH = BM + 2 \cdot BM = 3 \cdot BM$.

Отсюда $BM = \frac{h}{3}$ и $MH = \frac{2h}{3}$.

Треугольник $AMH$ является прямоугольным, так как $BH \perp AD$, а значит $\angle MHA = 90^\circ$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{AMH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot MH$.

Подставим известные значения и выражения в эту формулу:

$4 = \frac{1}{2} \cdot (2x) \cdot \left(\frac{2h}{3}\right)$

$4 = x \cdot \frac{2h}{3}$

$12 = 2xh$

$xh = 6$.

Теперь найдем площадь трапеции $ABCD$ по формуле:

$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$.

Подставим наши обозначения:

$S_{ABCD} = \frac{5x + x}{2} \cdot h = \frac{6x}{2} \cdot h = 3xh$.

Мы ранее вычислили, что $xh = 6$, поэтому можем найти площадь трапеции:

$S_{ABCD} = 3 \cdot 6 = 18$ см².

Ответ: 18 см².