Номер 44, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

44. Формулы площадей правильного треугольника, четырехугольника, шестиугольника, n-угольника

$S_3 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$;

$S_6 = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$;

$S_4 = a^2$;

$S_n = p \cdot r$.

Правильный шестиугольник со стороной $2\sqrt{3}$ описан около окружности. Найдите площадь квадрата, вписанного в эту же окружность.

По условию, правильный шестиугольник со стороной $a_6 = 2\sqrt{3}$ описан около окружности. Это значит, что окружность вписана в шестиугольник. Радиус $r$ вписанной в правильный шестиугольник окружности (его апофема) связан с его стороной $a_6$ формулой:

$r = \frac{a_6 \sqrt{3}}{2}$

Подставим в эту формулу значение стороны шестиугольника $a_6 = 2\sqrt{3}$:

$r = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$

Итак, радиус окружности равен 3.

Далее, в эту же окружность вписан квадрат. Для квадрата, вписанного в окружность, радиус этой окружности является радиусом описанной окружности ($R$). Диагональ квадрата $d$ равна диаметру описанной окружности.

$R = r = 3$

$d = 2R = 2 \cdot 3 = 6$

Площадь квадрата $S_4$ можно найти, зная его диагональ, по формуле:

$S_4 = \frac{d^2}{2}$

Подставим значение диагонали:

$S_4 = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Также можно было найти площадь квадрата через радиус описанной окружности. Площадь вписанного квадрата равна $S_4 = 2R^2$.

$S_4 = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$

Ответ: 18