Номер 51, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

51. Углы между пересекающимися хордами, секущими, касательной и хордой

$\angle DKB = \frac{1}{2}(\stackrel{\frown}{AC} + \stackrel{\frown}{DB}).$

а) Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $E$. Найдите угол $BEC$, если $\stackrel{\frown}{AD} = 54^{\circ}$, $\stackrel{\frown}{BC} = 70^{\circ}$.

$\angle DKB = \frac{1}{2}(\stackrel{\frown}{DB} - \stackrel{\frown}{AC}).$

б) Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в $32^{\circ}$. Меньшая дуга окружности, заключенная между сторонами этого угла, равна $56^{\circ}$. Найдите большую дугу.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей (хордой), проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

в) Через точку $B$ хорды $AB$ проведена касательная к окружности, большая дуга $AB$ равна $290^{\circ}$. Найдите острый угол между касательной и хордой.

а)

Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. В данном случае хорды AB и CD пересекаются в точке E. Угол BEC и вертикальный ему угол AED опираются на дуги BC и AD соответственно.

Формула для нахождения угла BEC, согласно свойству углов между пересекающимися хордами:

$\angle BEC = \frac{1}{2}(\text{◡}BC + \text{◡}AD)$

Подставим известные значения из условия задачи:

$\text{◡}AD = 54^\circ$

$\text{◡}BC = 70^\circ$

Выполним расчет:

$\angle BEC = \frac{1}{2}(70^\circ + 54^\circ) = \frac{1}{2}(124^\circ) = 62^\circ$

Ответ: $62^\circ$.

б)

Угол, образованный двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

Пусть $\alpha$ — угол между секущими, $\text{◡}Б$ — большая дуга, а $\text{◡}М$ — меньшая дуга. Формула имеет вид:

$\alpha = \frac{1}{2}(\text{◡}Б - \text{◡}М)$

По условию задачи известны:

угол $\alpha = 32^\circ$

меньшая дуга $\text{◡}М = 56^\circ$

Подставим известные значения в формулу и найдем градусную меру большей дуги $\text{◡}Б$:

$32^\circ = \frac{1}{2}(\text{◡}Б - 56^\circ)$

Чтобы найти $\text{◡}Б$, умножим обе части уравнения на 2:

$64^\circ = \text{◡}Б - 56^\circ$

Теперь выразим $\text{◡}Б$:

$\text{◡}Б = 64^\circ + 56^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

в)

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной внутри этого угла.

Полная окружность составляет $360^\circ$. По условию, большая дуга AB равна $290^\circ$. Найдем градусную меру меньшей дуги AB, вычитая из полной окружности большую дугу:

Меньшая дуга $\text{◡}AB = 360^\circ - 290^\circ = 70^\circ$

Существует два угла между касательной и хордой AB: острый и тупой. Острый угол опирается на меньшую дугу, а тупой — на большую. Нас просят найти острый угол. Обозначим его $\beta$.

Согласно теореме, его величина равна половине дуги, которую он заключает (т.е. меньшей дуги AB):

$\beta = \frac{1}{2} \cdot (\text{меньшая дуга } \text{◡}AB)$

$\beta = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ$

Полученный угол $35^\circ$ является острым ($35^\circ < 90^\circ$), что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $35^\circ$.