Номер 48, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

48. Теорема об отрезках касательных

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

К окружности с центром в точке $O$ и радиусом $5$ из точки $A$ проведены две касательные ($B$ и $C$ — точки касания). Найдите градусную меру угла $BAC$, если $AB = 5\sqrt{3}$.

Рассмотрим треугольник ABO. Так как AB является касательной к окружности в точке B, а OB — радиус, проведенный в точку касания, то радиус OB перпендикулярен касательной AB по свойству касательной. Следовательно, треугольник ABO является прямоугольным, где $∠OBA = 90^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике нам известны длины двух катетов:

• Катет OB равен радиусу окружности: $OB = 5$.
• Катет AB, согласно условию задачи, равен $AB = 5\sqrt{3}$.

Для нахождения угла BAO воспользуемся определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

$\tan(∠BAO) = \frac{OB}{AB}$

Подставим известные значения в формулу:

$\tan(∠BAO) = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$. Таким образом, мы нашли, что $∠BAO = 30^\circ$.

Согласно теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки (указанной в условии), прямая AO, соединяющая точку A с центром окружности O, является биссектрисой угла BAC, образованного касательными. Это значит, что она делит угол BAC пополам:

$∠BAC = 2 \cdot ∠BAO$

Теперь мы можем вычислить градусную меру угла BAC:

$∠BAC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.